1. 一道數學奧林匹克競賽題:
給定半徑為 $r$ 的圓上定點 $P$ 的切線 $l$, $R$ 是該圓上動點, $RQ\perp l$ 於 $Q$, 試確定面積最大的 $\triangle{PQR}$.
(第13屆加拿大數學奧林匹克競賽)
解答:
本題難度不大, 只需考慮在 $\bigodot{O}$ 內找到與 $\triangle{PQR}$ 相關的三角形即可.
過 $R$ 作 $RS \parallel l$ 交 $\bigodot{O}$ 於 $S$, 作 $PM \perp RS$. 易知, $\triangle{PQR} \cong \triangle{PMR} \cong \triangle{PMS}$.
因此 $\triangle{PRS} = 2\triangle{PQR}$. 而在所有圓內接三角形中, 正三角形面積最大, 故當 $\triangle{PRS}$ 為正三角形時, $\triangle{PQR}$ 面積最大. $$\triangle{PRS} = {1\over2}\cdot {3\over2}r\cdot \sqrt{3}r = {3\sqrt3\over4}r^2$$ $$\Rightarrow \triangle{PQR} = {3\sqrt3\over8}r^2.$$
2. 圓內接三角形中正三角形面積最大
在上述解答過程中, 我們直接使用了結論"圓內接三角形中, 正三角形面積最大", 即
對於確定的圓, 其所有內接三角形中以等邊三角形面積最大.
下面我們給出證明.
首先求出 $\triangle{ABC}$: $$\triangle{ABC} = {1\over2}ab\sin C = {1\over2}\cdot2R\sin A\cdot2R\sin B\cdot\sin C$$ $$= 2R^2\cdot\sin A\cdot\sin B\cdot\sin C$$ $$\le 2R^2\cdot \left({\sin A + \sin B + \sin C \over 3}\right)^3.$$ 最后一個不等式成立的依據是 AM-GM 不等式. 此時需要求出 $\sin A + \sin B + \sin C$ 之最大值. 為此, 我們引入凸函數概念 (Convex function):
若對於定義域內的兩點 $x_1$, $x_2$, $\forall t\in[0, 1]$, 都有 $$f\left(tx_1 + (1-t)x_2\right) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2),$$ 則稱 $f(x)$ 是定義域上的凸函數. (一般的競賽教科書上表述形式為 $t = {1\over2}$ 之情形)
比如二次函數 $f(x) = x^2$, 正弦函數 $f(x) = \sin x$ ($x\in[\pi, 2\pi]$) 等都是凸函數(考慮其圖像來感受何為凸函數).
對於某個凸函數 $f(x)$, 下述琴生不等式成立 (Jensen's inequality):
對於凸函數 $f(x)$ 定義域上的點 $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_n$, 及正實數 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$, 有 $$f\left({a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n \over a_1 + a_2 + \cdots + a_n}\right) \le {a_1f(x_1) + a_2f(x_2) + \cdots + a_nf(x_n)\over a_1 + a_2 + \cdots + a_n}.$$ 或簡單表示為 ($i = 1, 2, \cdots, n$): $$f\left({\sum a_ix_i \over \sum a_i}\right) \le {\sum a_if(x_i) \over \sum a_i}.$$ 證明:
用數學歸納法證明.
不失一般性, 我們重寫上述 Jensen's inequality, 假設 $\sum \lambda_i = 1$, $\lambda_i$ 是正實數且 $i = 1, 2, \cdots, n$ (暨 $\lambda_i$ 為每一項之權重 ${a_i \over \sum a_i}$): $$f\left(\sum \lambda_i x_i\right) \le \sum \lambda_if(x_i).$$ 對於 $n = 2$ 時, 由凸函數定義可得 $$f\left(\lambda_1x_1 + \lambda_2x_2\right) \le \lambda_1f(x_1) + \lambda_2f(x_2).$$
假設 $n-1$ 時成立, 即 $$f\left(\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_if(x_i),$$ 下面證明 $n$ 時成立: $$f\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i\right) = f\left(\lambda_1x_1 + \sum_{i=2}^{n} \lambda_i x_i\right) = f\left(\lambda_1x_1 + (1 - \lambda_1)\sum_{i=2}^{n} {\lambda_i \over 1-\lambda_1} x_i\right)$$ $$\le \lambda_1f(x_1) + (1-\lambda_1)f\left(\sum_{i=2}^{n} {\lambda_i \over 1-\lambda_1} x_i\right).$$ 最后一個不等號成立是因為 $n = 2$ 時之凸函數定義.
而 $$\sum_{i=2}^{n} {\lambda_i \over 1-\lambda_1} = 1,$$ 因此由歸納假設可得 $$f\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i\right) \le \lambda_1f(x_1) + (1-\lambda_1)f\left(\sum_{i=2}^{n} {\lambda_i \over 1-\lambda_1} x_i\right)$$ $$\le \lambda_1f(x_1) + \lambda_2f(x_2) + \lambda_3f(x_3) + \cdots + \lambda_{n}f(x_{n}) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_if(x_i).$$ 證畢.
當然, 對於凸函數之相反情形即凹函數, 上述不等式亦須取反向符號, 即 $$f\left({a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n \over a_1 + a_2 + \cdots + a_n}\right) \ge {a_1f(x_1) + a_2f(x_2) + \cdots + a_nf(x_n)\over a_1 + a_2 + \cdots + a_n}.$$ 下面回到我們的問題, 如何求出 $\sin A + \sin B + \sin C$ 之最大值?
首先, 判斷 $f(x) = \sin x$ ($x\in[0, \pi]$) 之凹凸性: $${f(x_1) + f(x_2) \over 2} = {1\over2}(\sin x_1 + \sin x_2) = \sin{x_1 + x_2 \over 2}\cos{x_1 - x_2 \over 2}$$ $$\le \sin{x_1 + x_2 \over 2} = f\left({x_1 + x_2 \over 2}\right).$$ 即 $f(x)$ 是凹函數 (也可以從圖像迅速判斷之).
由 Jensen's inequality 可得: $${\sin A + \sin B + \sin C \over 3} \le \sin{A + B + C \over3} = {\sqrt3 \over 2},$$ 當且僅當 $A = B = C = \dfrac{\pi}{3}$ 時取等號, 即當 $\triangle{ABC}$ 是正三角形時面積最大, 其最大值為: $$\triangle{ABC} = 2R^2\cdot \left({\sqrt3 \over 2}\right)^3 = {3\sqrt3 \over 4}R^2.$$
3. 圓內接多邊形中正 $n$ 邊形面積最大
由前文的討論結果, 我們自然考慮如下問題: 在圓內接多邊形中面積最大者是否為正 $n$ 邊形? 為了證明這一想法, 我們希望構造類似的解決辦法, 但是, 對於 $n \ge 5$ 的情況, 很難找到與前面所使用的三角形面積公式一樣合適的面積求解方法. 因此, 我們首先改造一下前文所使用的面積公式, 其目的是使之適用於所有圓內接多邊形.
在新的面積求法中, 我們不再依賴於三角形的邊長 $a$, $b$, $c$, 而僅考慮其所在圓的半徑 $R$ 以及某些適用的角度. 如下圖所示:
設 $\theta_1$, $\theta_2$, $\theta_3$ 是 $O$ 點對三邊的張角, 則三角形面積為 $$\triangle{ABC} = \triangle{AOB} + \triangle{AOC} + \triangle{BOC} = {1\over2}R^2\cdot(\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3),$$ 依據 $\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 是凹函數及 Jensen's inequality 可得 $${\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3 \over 3} \le \sin{\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 \over 3} = {\sqrt3 \over 2}.$$ 當且僅當 $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3$ 時取等號, 即 $\triangle{ABC}$ 是正三角形.
因此 $\triangle{ABC}$ 面積最大值為 $$\triangle{ABC} = {3\sqrt3 \over 4}R^2.$$ 與前面計算出來的結果相同.
下面我們考慮圓內接 $n$ 邊形的情況.
類似的, 設圓心 $O$ 對各邊的張角分別為 $\theta_1$, $\theta_2$, $\cdots$, $\theta_n$. 則由 Jensen's inequality 可求得該多邊形的面積最大值 $S$ 為 $$S = {1\over2}R^2\cdot(\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \cdots + \sin\theta_n)$$ $$\le {1\over2}R^2\cdot n \cdot \sin{\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_n \over n}$$ $$= {n \over 2}R^2\cdot\sin{2\pi\over n}.$$ 當且僅當 $\theta_1 = \theta_2 = \cdots = \theta_n$, 即該多邊形為正 $n$ 邊形時取等號.
依據上述討論, 我們可以得出一般性結論:
在所有圓內接多邊形中面積最大者是正 $n$ 邊形, 其面積最大值為 $${n \over 2}\cdot R^2\cdot\sin{2\pi\over n}.$$
Reference:
1. Convex function (Wikipedia): https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function
2. Jensen's inequality (Wikipedia): https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality
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