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第1章多邊形的面積
1.1 三角形面積
xy平面內，有三角形123，如下圖所示：
圖1.1
借助矢量叉積和點積，這個三角形的面積公式非常簡單：
這個面積是有符號的：1、2、3逆時針排列，則面積為正；1、2、3順時針排列，則面積為負。這是對右手系的總結，如果從背面看這個坐標系就成了左手系。在左手系下，面積的正負情況正好相反。所以，關於面積正負的准確說法應該是：1、2、3的排列順序與方位角增加的方向一致，則面積為正；1、2、3的排列順序與方位角增加的方向相反，則面積為負。
最后，上面的公式不夠美觀，來一個神來之筆：
1.2 多邊形面積
假定某個多邊形有n個頂點：1、2、3、……、n。現在任取一點C，它與n個頂點可以構成n個三角形：（C,1,2）、（C,2,3）、（C,3,4）、……、（C,n-1,n）、（C,n,1）。
現在把這些三角形的面積累積起來，就是多邊形的面積了，即：
注意上面公式的最后一項為S（C,n,n+1）。頂點n+1超過了n，就轉回去取值為1。
現在，把C點取為原點O，就可以得到多邊形的面積公式如下：
上式中，
應該取為
。
多邊形面積同樣有正負，以下圖為例。多邊形有四個頂點1、2、3、4。23與14有交點P。
圖1.2
面積1、2、P為正，面積3、4、P為負。兩塊面積相加，多邊形的面積就是零了。所以使用
計算多邊形面積時，各條邊一定不要有交點。
1.3 遞推公式
假定拿着手持GPS一邊走一邊顯示面積，那么
這個公式就有點不太合適了。因為它每次都要計算n個頂點，隨着頂點數n的增加其計算效率越來越低。此時，可以考慮使用遞推公式。
假定
表示頂點1、2、3、……、n圍成的多邊形面積，給多邊形增加一個頂點n+1后其面積變為
。則有：
可得多邊形面積計算的遞推公式如下：
上述遞推公式要計算3個三角形的面積，為了簡化計算，將C點取為1號頂點，則遞推公式變為：
因為
均為零，因此上式可簡化為
做為遞推公式，初始值很重要：
最終的遞推公式為：
1.4 精度評定
拿着手持GPS測量了一圈面積，其測量誤差能有多少？1畝地的面積測量誤差就達到了1畝，那這個測量就沒有什么實際意義了。微分多邊形面積公式
，可以得到
注意上式中的
請取為
；
請取為
。
根據誤差傳播率，可知：
假定頂點坐標的點位中誤差為
，且
，則根據
可知
，代入上式，可得
兩邊開平方，可得多邊形面積的精度
上式中的
只與多邊形的圖形結構有關，也就是說：面積精度與多邊形的圖形結構是有關系的。
假定多邊形為正方形，且邊長為
。則面積精度
，面積相對精度
。可見：測量的范圍越大（即
越大）則面積精度越低，但面積的相對精度越高。
假定多邊形為正
邊形，且外接圓半徑為
。則圓心角
，面積精度
，面積相對精度
。可見：測量的范圍越大（即
越大）則面積精度越低，但面積的相對精度越高。測量點越密集（即
越大）則面積精度、面積相對精度越高。
結論：
1、面積精度與多邊形的圖形結構是有關系的；
2、測量的范圍越大，面積精度越低，但面積的相對精度越高；
3、測量的頂點越密集，則面積精度和面積相對精度越高。