利用向量積（叉積）計算三角形的面積和多邊形的面積

利用向量積（叉積）計算三角形的面積和多邊形的面積：

向量的數量積和向量積：

（1）  向量的數量積

 

（1）  向量的向量積

兩個向量a和b的叉積（向量積）可以被定義為：

在這里θ表示兩向量之間的角夾角（0° ≤ θ ≤ 180°），它位於這兩個矢量 所定義的平面上。

向量積的模（長度）可以解釋成以a和b為鄰邊的平行四邊形的面積。求三角形ABC的面積，根據向量積的意義，得到：

a=a_xi+a_yj+a_zk;

b=b_xi+b_yj+b_zk;

a×b=(a_yb_z-a_zb_y)i+(a_zb_x-a_xb_z)j+(a_xb_y-a_yb_x)k,為了幫助記憶，利用三階行列式，寫成：

計算任意多邊形的面積：（頂點按逆時針順序排列）

求多邊形面積最基礎的方法就是用剖分法來做的，就是把多邊形分成若干個三角形，然后對每個三角形求面積，求面積，在有精度要求的情況下，不要用海倫-秦九昭公式，海倫公式可能在精度損失方面會比較嚴重，而且計算量很大。

最適合解決任意多邊形面積的方法是：向量積法。

頂點為P_k(k=1,2,3…n)的多邊形，其頂點坐標分別為(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)…(x_n,y_n)。

在計算幾何里，我們知道，△ABC的面積就是“向量AB”和“向量AC”兩個向量叉積的絕對值的一半。其正負表示三角形頂點是在右手系還是左手系。

 

 

hdu 2036:改革春風吹滿地（叉積求凸多邊形面積）

改革春風吹滿地

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
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Problem Description

“ 改革春風吹滿地,不會AC沒關系;實在不行回老家，還有一畝三分地。謝謝!（樂隊奏樂）”話說部分學生心態極好，每天就知道游戲，這次考試如此簡單的題目，也是雲里霧里，而且，還竟然來這么幾句打油詩。好呀，老師的責任就是幫你解決問題，既然想種田，那就分你一塊。這塊田位於浙江省溫州市蒼南縣靈溪鎮林家鋪子村，多邊形形狀的一塊地，原本是linle 的，現在就准備送給你了。不過，任何事情都沒有那么簡單，你必須首先告訴我這塊地到底有多少面積，如果回答正確才能真正得到這塊地。發愁了吧？就是要讓你知道，種地也是需要AC知識的！以后還是好好練吧...

 

 

Input

輸入數據包含多個測試實例，每個測試實例占一行，每行的開始是一個整數n(3<=n<=100)，它表示多邊形的邊數（當然也是頂點數），然后是按照逆時針順序給出的n個頂點的坐標（x1, y1, x2, y2... xn, yn）,為了簡化問題，這里的所有坐標都用整數表示。輸入數據中所有的整數都在32位整數范圍內，n=0表示數據的結束，不做處理。

 

 

Output

對於每個測試實例，請輸出對應的多邊形面積，結果精確到小數點后一位小數。每個實例的輸出占一行。

 

 

Sample Input

  3 0 0 1 0 0 1
  4 1 0 0 1 -1 0 0 -1
  0

Sample Output

0.5
2.0

思路

s=S123+S134+S145+S156+S167+S178
 >在坐標系下，三角形面積公式如下。可按向量思路。
S=(double)(x2*y3+x1*y2+x3*y1-x3*y2-x2*y1-x1*y3)/2.0;

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,x1,x2,x3,y1,y2,y3,i;
    double s;
    int x[100];
    int y[100];
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        s=0;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&x[i]);
            scanf("%d",&y[i]);
        }
        x1=x[0];
        y1=y[0];
        for(i=1;i<n-1;i++)
        {
            x2=x[i];
            y2=y[i];
            x3=x[i+1];
            y3=y[i+1];
            s+=(double)(x1*y2+x2*y3+x3*y1-x3*y2-x2*y1-x1*y3)/2.0;
        }
        printf("%.1lf\n",s);
    }
    return 0;
}