認真對待每一道算法題 之 滑動窗口的最大值

給你一個滑動窗口和一個數組，滑動窗口從數組第一個元素開始向后滑動，每滑動一下就計算當前窗口中對應的數組元素的最大值；

設置窗口長度為m，數組長度為n，有O(n*m)算法，用最大堆的O(n*lgm)算，利用已經比較過的元素之間關系的O(n)算法；

 

摘自博客 http://blog.csdn.net/sgbfblog/article/details/7967489

 

題目描述

給定一個數組A[]，有一個大小為w的滑動窗口，該滑動窗口從最左邊滑到最后邊。在該窗口中你只能看到w個數字，每次只能移動一個位置。我們的目的是找到每個窗口w個數字中的最大值，並將這些最大值存儲在數組B中。

例如數組A=[1 3 -1 -3 5 3 6 7], 窗口大小w為3。則窗口滑動過程如下所示：

 

Window position                Max
---------------               -----
[1  3  -1] -3  5  3  6  7       3
 1 [3  -1  -3] 5  3  6  7       3
 1  3 [-1  -3  5] 3  6  7       5
 1  3  -1 [-3  5  3] 6  7       5
 1  3  -1  -3 [5  3  6] 7       6
 1  3  -1  -3  5 [3  6  7]      7

輸入參數為數組A和w大小
輸出為數組B，其中B[i]存儲了A[i]到A[i+w-1]中w個數字的最大值。

 

一、簡單的解法

一個最簡單的想法就是每次移動都計算w個數字的最大值並保存起來，每次計算w個數字的最大值需要O(w)的時間，而滑動過程需要滑動n-w+1次，n為數組大小，因此總共的時間為O(nw)。代碼如下：

 

/*最大滑動窗口主函數*/
void maxSlidingWindow(int A[], int n, int w, int B[])
{
    for (int i=0; i<=n-w; i++)
        B[i] = max(A+i, w);
}

/*求數組最大值*/
int max(int A[], int n)
{
    int max = A[0];
    for (int i=1; i<n; i++) {
        if (A[i] > max) {
            max = A[i];
        }
    }
    return max;
}

 

二、最大堆解法

第1個方法思路簡單，但是時間復雜度過高，因此需要改進。可以使用一個最大堆來保存w個數字，每次插入數字時只需要O(lgw)的時間，從堆中取最大值只需要O(1)的時間。隨着窗口由左向右滑動，因此堆中有些數字會失效（因為它們不再包含在窗口中）。

 

typedef pair<int, int> Pair;
void maxSlidingWindow(int A[], int n, int w, int B[])
{
    priority_queue<Pair> Q; //優先級隊列保存窗口里面的值
    for (int i = 0; i < w; i++)
        Q.push(Pair(A[i], i));  //構建w個元素的最大堆
    for (int i = w; i < n; i++) {
        Pair p = Q.top();
        B[i-w] = p.first;
        while (p.second <= i-w) {
            Q.pop();
            p = Q.top();
        }
        Q.push(Pair(A[i], i));
    }
    B[n-w] = Q.top().first;
}

如果數組本身有序，則里面的while循環不會執行，堆大小會增大到n。因為堆大小並不保持在w不變，因此該算法時間復雜度為O(nlgn)。

 

 

三、雙向隊列O(N)解法

最大堆解法在堆中保存有冗余的元素，比如原來堆中元素為[10 5 3]，新的元素為11，則此時堆中會保存有[11 5 3]。其實此時我們可以清空整個隊列，然后再將11加入到隊列即可，即只在隊列中保持[11]。使用雙向隊列可以滿足要求，滑動窗口的最大值總是保存在隊列首部，隊列里面的數據總是從大到小排列。當遇到比當前滑動窗口最大值更大的值時，則將隊列清空，並將新的最大值插入到隊列中。如果遇到的值比當前最大值小，則直接插入到隊列尾部。每次移動的時候需要判斷當前的最大值是否在有效范圍，如果不在，則需要將其從隊列中刪除。由於每個元素最多進隊和出隊各一次，因此該算法時間復雜度為O(N)。

 

void maxSlidingWindow(int A[], int n, int w, int B[])
{
  deque<int> Q;
  for (int i = 0; i < w; i++) {
    while (!Q.empty() && A[i] >= A[Q.back()])
      Q.pop_back();
    Q.push_back(i);
  }
  for (int i = w; i < n; i++) {
    B[i-w] = A[Q.front()];
    while (!Q.empty() && A[i] >= A[Q.back()])
      Q.pop_back();
    while (!Q.empty() && Q.front() <= i-w)
      Q.pop_front();
    Q.push_back(i);
  }
  B[n-w] = A[Q.front()];
}