任意給出一個三角形ΔABC，設其頂點坐標分別為A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），那么根據線性代數的知識，ΔABC的有向面積可表示為：
其中，ΔABC頂點A、B、C逆時針給出時有向面積為正，順時針給出時有向面積為負。如圖1所示，S∆ABC>0、S∆ABD<0.
圖1
我們知道任意的多邊形都可以分割成多個三角形，根據以上三角形面積公式就可以求出任意多邊形的面積。如圖2所示的六邊形頂點坐標分別為O（x0, y0），A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），D（x4, y4），E（x5, y5），則其面積可以表示為四個三角形面積之和：S=S∆OAB+S∆OBC+S∆OCD+S∆ODE
其中：
所以
即
圖2
在這里，前文給出的多邊形示例是一個凸多邊形，那么這一結論適用於凹多邊形嗎？下面我們看看如圖3所示的凹多邊形。
圖3
按照上面的思路，這里的凹多邊形面積表示為：S=S∆OAB+S∆OBC+S∆OCD，從前面介紹可以知道
S∆OAB=-S∆OBA<0，所以很明顯上式是成立的，即此公式也適用於凹多邊形。
經過以上分析，給出任意一個多邊形，其頂點坐標依次為（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn）（其中n=2，3，4，…），則其面積可表示為：
換句話說，若已知多邊形邊上的每一點坐標，我們就可以求出該多邊形的面積，包括如圖4所示的曲線圖形，當從O點到A點到O點的曲線上每一點坐標都已知時就能求出該曲線圖的面積。
圖4
<script>
function square(x,y) {
//數組x,y分別按順序存儲各點的橫、縱坐標值
var sum0=0;
for (var i = 0; i < x.length - 1; i++) {
sum0 += (x[i] * y[i + 1] - x[i + 1] * y[i]);
}
var square = (Math.abs(sum0 + (x[x.lenght] * y[0]) - (x[0] * y[x.lenght]))) / 2;
return square;
}
</script>