原文: https://zhaokaifeng.com/?p=1935
題目
下列命題中正確的是（）
( A ) 若 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\), 則 \(\exists \varepsilon > 0\), 當 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 時，\(f(x) \geqslant g(x)\).
( B ) 若 \(\exists \varepsilon>0\), 當 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 時，\(f(x)>g(x)\), 且 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}\), 則 \(A_{0}>B_{0}\).
( C ) 若 \(\exists \varepsilon>0\), 當 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 時，\(f(x)>g(x)\), 則 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\).
( D ) 若 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\), 則 \(\exists \varepsilon>0\), 當 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 時，\(f(x)>g(x)\).
解析
概念考察題是考研數學中一類比較難的題，這類題的難點在於除了緊摳概念之外，解答者沒有多少可以自由發揮的空間。而且，概念考察題考察的都是概念的細微之處，一不留神就可能審錯題。
從本題的四個選項可以看出，本題考查的着重點在函數極限這一部分。更細致的來看，本題考查了函數極限的定義中當 \(x \rightarrow x_{0}\) 時的極限的定義，如下：
已知 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A\)
任給 \(\varepsilon >0\), 存在正數 \(\delta\), 當 \(0<x-x_{0}<\delta\) 時，就有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\).
注：上面這個定義說的通俗一點就是，當 \(x\) 與 \(x_{0}\) 足夠接近的時候，\(f(x)\) 與 \(f(x)\) 的極限 \(A\) 也足夠接近。
本題還考察了函數極限的性質中的“保號性”，如下：
設 \(\lim f(x)=A>0\), 則在極限管轄的范圍內，\(f(x)>0(f(x)>\frac{A}{2})\).
反之，\(f(x)>0\) 且 \(\lim f(x)=A \Rightarrow A \geqslant 0\).
注：當 \(x \rightarrow x_{0}\) 時，“極限管轄的范圍”指的就是 \(x_{0}\) 的去心鄰域；當 \(x \rightarrow \infty\) 時，“極限管轄的范圍”指的就是無窮遠處。
對於函數極限的性質中的保號性，我們需要明確以下幾點：
-
解答保號性問題的大前提是“涉及到的函數的極限均存在”，這也是解決所有涉及極限的問題的大前提：要研究和利用極限，則極限必須存在；
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保號性都是局部保號性，即只有在極限管轄的范圍內才存在保號性；
-
由極限大於 \(0\) 可以推出函數大於 \(0\), 不能推出函數等於 \(0\) 或者函數小於 \(0\). 由函數大於 \(0\) 可以推出極限大於 \(0\) 或者極限等於 \(0\), 而且在不確定極限究竟是只大於 \(0\) 還是只小於 \(0\) 的情況下，要寫成極限大於等於 \(0\) 的形式。
以下是對本題中每一個選項的分析。
A 選項
該選項給出了：
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\)
這說明 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的極限都存在（滿足了研究極限問題的大前提，條件可用，可以繼續接下來的思考步驟）且 \(f(x)\) 的極限大於等於 \(f(x)\) 的極限。
於是，我們有：
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x)) \geqslant 0\)
接下來選項給出了：
若 \(\exists \varepsilon > 0\), 當 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 時
這說明我們是要在“函數極限的管轄范圍內”討論這個選項的說法，具備使用保號性的前提，條件可用，可以繼續接下來的思考步驟。
該選項接下來指出，由上面的條件可以推出 \(f(x) \geqslant g(x)\).
這個結論是不對的。原因如下：
若函數 \(f(x)\) 的極限 \(A >0\), 則可以推出函數 \(f(x)>0\);
若函數 \(f(x)\) 的極限 \(A<0\), 則可以推出函數 \(f(x)<0\);
若函數 \(f(x)\) 的極限 \(A=0\), 則不能確定函數 \(f(x)\) 是大於 \(0\), 小於 \(0\) 還是等於 \(0\). 原因是，如果 \(A=0\) 我們不知道函數 \(f(x)\) 是在大於 \(0\) 的方向上趨近於極限 \(A\), 還是在小於 \(0\) 的方向上趨近於極限 \(A\), 抑或 \(f(x)=0\).
如圖 1 所示，當函數的極限等於 \(0\) 時，函數可能是大於 \(0\) 的：
圖 1. y=1/x 的局部圖像，使用 www.desmos.com 生成
如圖 2 所示，當函數的極限等於 0 時，函數也可能是小於 \(0\) 的：
圖 2. y=1/(-x) 的局部圖像，使用 www.desmos.com 生成
第三種情況，當函數的極限等於 \(0\) 時，函數可能也是等於 \(0\) 的，如圖 3 所示：
圖 3. y=0 的局部圖像，使用 www.desmos.com 生成
因此，已知極限 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]\geqslant0\), 並不能推導出函數 \(F(x)=[f(x)-g(x)]\geqslant0\).
綜上可知，選項 A 是錯誤的。
B 選項
題目中給出了如下條件：
若 \(\exists \varepsilon>0\), 當 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 時
因此，本題符合函數極限保號性的使用條件，條件可用，可以繼續接下來的思考步驟。
接着，該選項給出：
\(f(x)>g(x)\)
於是，當我們令 \(F(x)=f(x)-g(x)\) 時，可以得出如下結論：
\(F(x)>0\)
接着，該選項又給出：
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}\)
這說明函數 \(f(x)\) 和函數 \(g(x)\) 都是存在極限的，符合我們研究函數極限問題的大前提，條件可用，可以繼續接下來的思考步驟。
最后，該選項給出了他的結論：
\(A_{0}>B_{0}\)
有了這個結論，結合前面的條件，我們可以把該選項改寫成如下形式：
已知函數 \(F(x)\) 存在極限，且函數 \(F(x)>0\), 則 \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0\).
這個結論顯然是錯誤的，因為已知函數大於 \(0\) 的時候，其極限是可能等於 \(0\) 的，例如對 A 選項的解析中給出的圖 1, 函數 \(f(x)=\frac{1}{x}\) 始終是大於 \(0\) 的，但是其極限卻是等於 \(0\) 的。
綜上可知，選項 B 是錯誤的。
C 選項
該選項的錯誤比較明顯，因為選項中沒有指明函數 \(f(x)\) 和函數 \(g(x)\) 的極限存在，缺少了研究極限問題的大前提，那么，接下來的所有說明和結論都是沒有根據也沒有意義的。不過，如果 C 選項像 B 選項一樣指明函數 \(f(x)\) 和函數 \(g(x)\) 的極限是存在的，那么該選項的表述就是正確的，原因在 B 選項中已經分析過。
綜上可知，選項 C 是錯誤的。
D 選項
該選項首先給出了如下條件：
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)\)
若我們令 \(F(x)=f(x)-g(x)\), 則上面的條件可以改寫成：
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0\)
接着選項給出了：
若 \(\exists \varepsilon>0\), 當 \(0<|x-x_{0}|<\varepsilon\) 時
這說明我們是要在“函數極限的管轄范圍內”討論這個選項的說法，具備使用保號性的前提，條件可用，可以繼續接下來的思考步驟。
接着，該選項給出了它的結論：
\(f(x)>g(x)\)
根據前面的分析可知，我們可以將此改寫成：
\(F(x)>0\)
我們知道，當一個函數的極限存在且大於 \(0\) 的時候，在函數極限的管轄范圍內，可以推導出該函數也大於 \(0\).
綜上可知，選項 D 是正確的。
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