Cauchy數列：設\({x_n}\)為一數列，如果對於任意給定的ε＞0，都存在正整數N，使得
$|x_m-x_n|＜ε，∀m,n＞N$
則稱\({x_n}\)為Cauchy數列。
Cauchy收斂准則：數列\({x_n}\)收斂的充分必要條件是它是Cauchy數列。
證明：先證必要性，設\({x_n}\)為收斂於A的數列，由數列極限的定義，對任意ε＞0，存在正整數N，當m,n＞N時有
$|x_m-A|＜ε，$|x_n-0|＜ε
所以 $|x_m-x_n|＜2ε$
由ε的任意性，數列\({x_n}\)是Cauchy數列。
下證充分性，設數列\({x_n}\)是Cauchy數列。
取ε=1，存在正整數N，使得\(|x_m-x_n|＜1，∀m,n＞N\)
取n=N+1，有\(|x_m-x_{N+1}|＜1，∀m＞N\)，從而\(|x_m|＜1+|x_{N+1}|，∀m＞N\)
令\(M=1+∑_{k=1}^{N+1}|x_k|\)，則\(|x_n|≤M\)，所以數列\({x_n}\)有界，即存在上下極限。
由定義，$-ε＜x_n-x_m＜ε，∀m,n＞N$
若m給定，令n→∞，取下極限\(-ε≤lim(下極限){n→∞}x_n-x_m≤ε\)
令m→∞，取上極限\(-ε≤lim(下極限){n→∞}x_n-lim(上極限)_{n→∞}x_m≤ε\)
由ε的任意性，數列\({x_n}\)上下極限相等，即數列\({x_n}\)收斂。