逐點收斂與一致收斂

作者：Abraham     轉載請標明出處，謝謝！

數學分析中的函數列的收斂性是一個很重要的概念。

Riemann空間（工科數學分析主要討論的范圍）上描述收斂性的兩個概念是逐點收斂與一致收斂。

Pointwise Convergence

Definition.

Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of functions defined on D. We say that {fn} converges pointwise on D if lim n→∞ fn(x) exists for each point x in D. This means that lim n→∞ fn(x) is a real number that depends only on x. If {fn} is pointwise convergent then the function defined by f(x) = lim n→∞ fn(x), for every x in D, is called the pointwise limit of the sequence {fn}.

Formal Definition.

Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of real valued functions defined on D. Then {fn} converges pointwise to f if given any x in D and given any ε > 0, there exists a natural number N = N(x, ε) such that |fn(x) − f(x)| < ε for every n > N.

Uniform Convergence

Definition. Let D be a subset of R and let {fn} be a sequence of real valued functions defined on D. Then {fn} converges uniformly to f if given any ε > 0, there exists a natural number N = N(ε) such that |fn(x) − f(x)| < ε for every n > N and for every x in D.

       兩者的關系是：一致收斂必逐點收斂，但反之則不然。

       關於一致收斂的特別之處，一種理解是收斂速度的一致性，如果能正確定義這里的“收斂速度一致性”，這種解釋是正確的，但是這個“收斂速度一致性”十分容易引起歧義。詳見下面兩種使人模糊的解釋：

1. 出處：Albert Boggesss ， Francis J. Narcowich. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis[M]. Publishing House of Electronics Industry ;Pearson, 2002.

2. 百度作業幫 https://www.zybang.com/question/6c5bd50644ca736bddf0af1c97869fa4.html

所謂一致的意思就是大家具有同樣的性質或者同樣的速度.
比如講收斂.fn(x)在x點收斂是對任意的e>0,存在N=N(e,x),
當n>N時,有|fn(x)-f(x)|<e.這里的n通俗說就是衡量收斂速度的快慢的.
對給定的e,N越大的可以認為收斂的越慢,N越小的可以認為收斂的越快.
不同的x對應的N是不同的（即使是同樣的e),也就是不同的點收斂的快慢
是不一樣的.再來看一致收斂.
對任給的e>0,存在N=N(e),當n>N時,對任意的x,有
|fn(x)-f(x)|<e.這里的n不與x有關,只與e有關；e給定后,
N就可以確定了.也就是說,不同的地方收斂的速度基本上
是同樣的,都可以用同一個N來控制.對比上面的逐點收斂而不一致收斂,
上面的逐點收斂一般是找不到同樣的N的,你只能保證每一點都是收斂的,
但收斂的快慢是不一樣的.如果舉一個具體的例子,比如fn(x)=x^n,0<x<1.
越靠近1的地方,收斂於0的速度越慢,在整個(0,1)上是否能具有大致相同的
收斂速度呢（也就是給定x之后,能否找一個公共的N來控制呢）.可以知道,
這是辦不到的.假設有一個這樣的N,使得|x^n|<e<1對所有的x,當n>N時同時
都成立,固定每一個n,令x趨於1得到1

其中，第二個例子的大致相同的收斂速度實在是一個模糊而且容易引起歧義的概念（雖然括號里的補充是對的），第一個例子在論證不滿足一致收斂性的時候沒有說到點子上，"The rate at which tn approaches zero becomes slower as t approaches 1." 這個說法是正確的，但是並不能說明為什么這樣就不是“收斂速度一致”，是因為slower嗎？並不是，在緊接着的區間為[ 0, r ]的例子中slower依然存在。關鍵在[ 0, r ]例子的最后一句話"In other words, the rate at which fn approaches zero for all points on the interval [ 0, r ] is no worse than the rate at which rn approaches zero." 一個是slower一個是the rate... is no worse than，這兩個在文法上好似一對反義詞，所以乍一看一頭霧水。從數學分析的角度看，這兩句話的意思其實截然不同，收斂速度的不同在兩張情況下都存在，所以都存在slower，但是，no worse than the rate AT rn approaches zero中的這個at明確給出了slower的一個極限，或者說一個下確界，也就是slowest的情況。這個slowest存在與否，或者說這個收斂速度最慢情況的存在與否，或者說這個收斂速度下確界存在與否，決定了這個函數列是一致收斂還是逐點收斂。但是本書一貫聰明而且通俗易懂的作者卻沒有明確的指出“下界”這個概念，是作者覺得顯而易見忽略了還是作者有意不讓本書出現過多數學概念亦未可知。這里引入Wikipedia關於一致收斂的概念，這個問題就十分明了了：

Definition of Uniform Convergence on Wikipedia

Suppose  is a set and  () are real-valued functions. We say that the sequence  is uniformly convergentwith limit  on  if for every , there exists a natural number  such that for all  and all  we have . Equivalently,  converges uniformly on  in the previous sense if and only if for every , there exists a natural number  such that . This is the Cauchy criterion for uniform convergence.

In another equivalent formulation, if we define , then  converges to  uniformly if and only if  as . This last statement can be restated as uniform convergence of  on  being equivalent to convergence of the sequence in the function space  with respect to the uniform metric (also called the supremum metric), defined by .。

這里的sup，也就是fn與f距離的上確界，上確界的定義：

一維點集上確界定義：

考慮一維歐氏空間中的一個集合，若存在，使得對於，都有，則稱是集合的一個上界。設，若數滿足

1. 是的一個上界；
2. 如果是的一個上界，則必有;

就稱是集合的上確界，記作或者

這里的上確界與上文所說的收斂速度下確界是等價的。如果這個確界存在，則為一致收斂，如果不存在，則為逐點收斂。通俗地講，想要一致收斂，不怕你收斂速度慢，不怕你離極限值遠，就怕你沒數（函數列與極限函數間的距離沒有上確界）。另外要注意，在這個上確界的表達式中如果沒有上確界符號，表達式的極限值為0其實是一個容易達到的弱約束，而極限值中上確界的存在性是一個強約束。

附上兩個逐點收斂但不一致收斂的例子：

1. 出處：Albert Boggesss ， Francis J. Narcowich. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis[M]. Publishing House of Electronics Industry ;Pearson, 2002.

2. 出處：Pointwise Convergence on Wikipedia

For example we have

as the speed of convergence depends on x and is faster for lower values of x in the domain.

如果要證明第二例，方法很簡單：

令x = (1/2)exp(1/n)，則lim xexp(n) = 1/2，對於ε<1/2，不成立。

這種證明某函數列逐點收斂但是不一致收斂的方法大同小異，就是令一個與n有關的x使函數列不收斂到指定值。

PS. 一個介於逐點收斂與一致收斂之間的概念是均勻收斂（L2收斂）

L2收斂比一致收斂稍弱的原因是L2[ a, b ]上函數f和g相等的定義是在[ a, b ]上除了零測度集外對所有的t有f(t) = g(t)（“除了零測度集外”是Lesbegue積分的觀點，Riemann積分的觀點是“除有限個點外”，區別大概是零測度集可以有無窮多個元素，未深究）。

L2收斂的證明方式最簡單，求lim n->∞ ||fn-f||就可以了，這是一個積分的極限。