1、定理：設I為有界閉區間，{Uα}為I的一個開覆蓋，則，s.t 。
2、兩個關鍵點：
（1）被覆蓋區間必須是閉區間
（2）覆蓋閉區間的區間、區間系必須是開區間
3、閉區間的這一性質，稱為緊性
4、在拓撲的基本概念中，最令人費解的，莫過於“緊性”（Compactness），它描述一個空間或者一個集合“緊不緊”。正式的定義是“如果一個集合的任意開覆蓋都有有限子覆蓋，那么它是緊的”。乍一看，實在有些莫名其妙。它究竟想描述一個什么東西呢？和“緊”這個形容詞又怎么扯上關系呢？一個直觀一點的理解，幾個集合是“緊”的，就是說，無限個點撒進去，不可能充分散開。無論鄰域多么小，必然有一些鄰域里面有無限個點。上面關於compactness的這個定義的玄機就在有限和無限的轉換中。一個緊的集合，被無限多的小鄰域覆蓋着，但是，總能找到其中的有限個就能蓋全。那么，后果是什么呢？無限個點撒進去，總有一個鄰域包着無數個點。鄰域們再怎么小都是這樣——這就保證了無限序列中存在極限點。
Compact這個概念雖然有點不那么直觀，可是在分析中有着無比重要的作用。因為它關系到極限的存在性——這是數學分析的基礎。了解泛函分析的朋友都知道，序列是否收斂，很多時候就看它了。微積分中，一個重要的定理——有界數列必然包含收斂子列，就是根源於此。
——by 某大牛 in MIT
5、緊致性的問題，可以說是拓撲學中一個很重要的問題。對於實數來說，和閉區間緊致性有關的好幾條引理，比如有限覆蓋、閉區間套和Cantor的極限點引理。對於一般的拓撲空間來講它們有一些推廣。這些推廣很好地刻畫了緊致性。關於這個引理本身的理解，上面說得很好：不能把里面的點充分地撒開。正是因為“不能充分撒開”，所以一定有有限的開覆蓋。緊致性是個拓撲性質，分析學中拓撲性質影響分析性質的例子實在太多，很多都和這個緊致性有關系。比如最基本的，在緊致集合上連續地函數必定能達到最大值和最小值。顯然對於非緊致的集合這件事情不一定成立。
6、我的一些理解：
（1）既然是“任意-必”關系，那我們就不必考慮存在外點的情況。因為比如[a,b]需被覆蓋，直接用一個大的開區間覆蓋掉就行了嘛，但這就沒有研究的必要的。我們考慮那些不那么“顯然”的情況。是內點的領域，可以知道，是肯定可以完全覆蓋[a,b]的。我們需要證明可以選取有限個內點，它們的領域並起來可以完全覆蓋[a,b]。
（2）有一個直觀的比喻。將實數想象成人，站在[a,b]這一段下雨了，所有人打傘肯定可以保證所有人都不會被淋濕。但我們可以從中選出有限個人打傘，其余人不打傘，同樣可以保證所有人都不會被淋濕。而如果是(a,b)這一段下雨了，a端點這個人不需要有傘，而從右向a靠近的過程中有無窮個人，我選取某人打傘，在左側總有人會淋到雨，而只是恰好覆蓋掉(a,b)而已。
（3）舉個例子解釋一下上面(a,b)的情況。比如考慮區間(1,2)，我們用去覆蓋它，，可知時，覆蓋掉(1,2)，即並起來為(1,2)。但我們並不能做到選取有限個區間去替換掉，因為能夠覆蓋到(1,2)的那個區間在“無窮”的那個位置。
（4）對於為什么不能用閉區間去覆蓋閉區間。首先開覆蓋定理對應泛函分析中的緊性。關鍵在於，開區間的每個點都是內點（這里我想表達的是，如果某個開區間把某個點x覆蓋掉了，那么一定不是只恰好覆蓋了x，而是覆蓋了x的一個領域），而閉區間不一定（這里的閉區間包括單點集）。那么有[a,b]可以被[a,b]上所有單點集之並完全覆蓋，但這是無限個的，且任意剔除一個都會導致[a,b]不能被完全覆蓋。