【定理】如果一個閉區間能夠被一個開區間集合覆蓋，則從中可以選出有限個開區間，覆蓋住該閉區間。
【證明】
設閉區間[a,b]被開區間集合I覆蓋。
用反證法，假設從中不能選出有限個開區間對[a,b]覆蓋。
\(取[a,b]中點c，將[a,b]分為兩個區間[a,c],[c,b],則這兩個區間中必有有一個不能被I有限覆蓋\)
\(記[a,b]為[a_{1},b_{1}],記這個不能有限覆蓋的區間為[a2,b2]\)
\(再將[a_{2},b_{2}]一分為二，將其中不能有限覆蓋的區間記為[a_{3},b_{3}]\)
\(無限重復上述操作，得到無窮區間集合\{[a_{n},b_{n}],n=1,2,\cdot\cdot\cdot\}\)
\(這個閉區間集合具有以下性質\)
\((1)\quad[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_{n},b_{n}]\)
\((2)\quad b_{n}-a_{n}=\frac{1}{2^n},n=1,2,3...\)
\(\quad\quad 且a_{n}\leqslant b_{n},可得\)
\(\quad\quad0\leqslant b_{n}-a_{n}\leqslant \frac{1}{2^n}\)
\(\quad\quad根據迫斂定理，可得\quad 0\leqslant lim_{n\to\infty}b_{n}-a_{n}\leqslant lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0\)
\(\quad\quad 得到\quad lim_{n\to\infty}(a_{n}-b_{n})=0\)
\(【注意】如果是開區間，那么該區間的有些開覆蓋的集合可以選出有限覆蓋，但是並非所有開覆蓋集合，都能選出有限覆蓋，來覆蓋該區間\)
\(例如,雖然，開區間集合I=\{(-\frac{1}{n}，1+\frac{1}{n}),n\in N^+\},可以覆蓋(0,1),而且可以有限覆蓋(0,1)\)
\(但是，開區間集合I=\{(\frac{1}{n}，1),n\in N^+\},可以覆蓋(0,1),但是不能有限覆蓋(0,1)\)