有限群表示論的一些基本定理：
1、有限群的不同的（非等價的）不可約表示的個數是有限的，並且等於這個群的共軛元素類的個數。
1a、只有有限多不可約表示，它的數目正好等於有限群G的共軛類的數目。
1b、G的不可約表示的個數（確切到同構）等於G的共軛類的個數。
G的兩個元素t和t'說是共軛的，如果存在s∈G使得t'=sts^(-1)；這是一個等價關系，這個關系將G划分成類（也叫做共軛類）。
——群G的共軛類個數k是G的不變量，G是Abel群當且僅當k=|G|
——群G的共軛類個數與群G的同階元個數分布是G的兩個不變量，同階元之間不一定共軛
2、不可約表示的階數必然是群的因數，而且正則表示等於所有不可約表示的和，其中每一個不可約表示重復出現的次數恰好等於其階數。
3、有限群的階數n與不可約表示階數n_1,n_2,…n_k之間的下面有趣的關系式：n=∑[i=1->k](n_i)^2。n_1=1。
3a、有限群不等價不可約表示維數平方和等於群的階數∑[j](m_j)^2=g
4、每個有限群G都有一個正則表示，維數是有限群G的階|G|。
5、線性無關定理：G在K里的不同特征標σ_1,…, σ_n總是線性無關的。
6、下列性質是等價的：a、G是一個Abel群。b、G的一切不可約表示都是一級的。
6a、有限可換群每一個元素組成一個共軛元素類。因此，k=n，n_1=n_2=…=n_k=1，即這樣群的所有不可約表示都是一階的，而且不可約表示的個數等於群的階數。
上面定理所用到的一些基本定義：
定義1：若行列式不為零的m*m矩陣集合構成的群D(G)與給定群G同構或同態，則D(G)稱為群G的一個m維線性表示，簡稱表示（representation）。
定義1a：群G的一個n階表示是G到n階非退化矩陣群里的一個同態映像。一個群G在一個域K上的向量空間V上的線性表示是G到V的自同構群GL(V)中的一個同態ρ:G->GL(V)。
群G的1階表示是這樣的對應：對於G的每一元素，對應着一個復數，而且，群的兩個元素的乘積對應着與它們對應的復數的乘積。
線性表示不僅計算比較方便，而且最重要的是它保持群的結構，也就是對於g_1,g_2∈G，總有ρ(g_1)ρ(g_2)= ρ(g_1g_2)。
一個線性表示ρ:G->GL(V)稱為完全可約表示，如每個不變子空間U{<}V都有一個不變補空間W，使V=U(+)W。
設G是一個群，K是一個域，G在K里的特征標就是從G到K的乘法群里的同態。
對於特征標σ，τ，乘積στ定義為στ(x)= σ(x)τ(x)，它仍是特征標。G在K里的特征標關於此乘法構成一個Abel群G’，稱為G在K里的特征標群。
歷史背景、跨學科、跨數學分支聯系：
有限群的（復）表示理論起源於19世紀末期Frobenius的工作。在20世紀30年代交換代數產生之后，群表示論逐漸采用模論的語言。數論中采用表示論可以上溯到狄利克雷甚至高斯。二次剩余的勒讓德符號，高斯和以及狄利克雷L-函數L(s,χ)中使用的模m狄利克雷特征就是有限Abel群(Z/mZ)^*的特征（一次表示）。他們在研究高斯和以及L(s,χ)的性質中均使用了特征的正交關系。Abel群G的每一共軛類只含一個元素，也就是說，G上每一個函數都是類函數。這種群的線性表示特別簡單。
可換群的不可約表示也叫做群的指標【標准中文翻譯為特征標】。
對於非可換群的每一表示，其指標【特征標】是指組成這個表示的矩陣的跡（即矩陣對角元素的和）的集合。矩陣的跡Trρ(g)稱為表示的特征標。
有限群的指標【特征標】具有很好的性質和關系。
群的表示和指標【特征標】的研究以有興趣的一般結果豐富了群論，並且這些結果在近代理論物理中找到了寬廣的應用。
以上定義、定理、歷史背景構成完整的群表示理論內容。
D_4：Con(D_4)=5,每個共軛類的長度=[1,1,2,2,2]
C_8：Con(C_8)=8,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,1,1,1,1]
Q_8：Con(Q_8)=5,每個共軛類的長度=[1,1,2,2,2]
GAP4[16,3]：Con(GAP4[16,3])=10,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,2,2,2,2,2,2]
GAP4[16,4]：Con(GAP4[16,4])=10,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,2,2,2,2,2,2]
M_16：Con(M_16)=10,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,2,2,2,2,2,2]
D_8：Con(D_8)=7,每個共軛類的長度=[1,1,2,2,2,4,4]
QD_16：Con(QD_16)=7,每個共軛類的長度=[1,1,2,2,2,4,4]
Q_16：Con(Q_16)=7,每個共軛類的長度=[1,1,2,2,2,4,4]
D_4×C_2：Con(D_4×C_2)=10,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,2,2,2,2,2,2]
GAP4[16,12]：Con(GAP4[16,12])=10,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,2,2,2,2,2,2]
GAP4[16,13]：Con(GAP4[16,13])=10,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,2,2,2,2,2,2]
D_9：Con(D_9)=6,每個共軛類的長度=[1,2,2,2,2,9]
GAP4[24,1]：Con(GAP4[24,1])=12,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3]
SL(2,3)：Con(SL(2,3))=7,每個共軛類的長度=[1,1,4,4,4,4,6]
GAP4[24,4]：Con(GAP4[24,4])=9,每個共軛類的長度=[1,1,2,2,2,2,2,6,6]
C_4×S_3：Con(C_4×S_3)=12,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3]
D_12：Con(D_12)=9,每個共軛類的長度=[1,1,2,2,2,2,2,6,6]
Q_12×C_2：Con(Q_12×C_2)=12,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3]
GAP4[24,8]：Con(GAP4[24,8])=9,每個共軛類的長度=[1,1,2,2,2,2,2,6,6]
C_3×D_4：Con(C_3×D_4)=15,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2]
C_3×Q_8：Con(C_3×Q_8)=15,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2]
S_4：Con(S_4)=5,每個共軛類的長度=[1,3,6,6,8]
C_2×A_4：Con(C_2×A_4)=8,每個共軛類的長度=[1,1,3,3,4,4,4,4]
C_2×C_2×S_3：Con(C_2×C_2×S_3)=12,每個共軛類的長度=[1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3]
// 定義：給定群G，對G中的兩個元a，b，若存在G中的某個元g，使得g^-1ag=b，就稱元素a，b在G中共軛，記為a~b。
bool IsConjugacy(const vector<vector<int>> &vvG,int a,int b)
{
int N=vvG.size();
for(int i=0;i<N;i++)
{
int ai=vvG[a][i]-1;
int ib=vvG[i][b]-1;
if(ai==ib)
return true;
}
return false;
}
vector<int> ConjugacyClasses(const vector<vector<int>> &vvG,int a)
{
vector<int> ret;
int N=vvG.size();
for(int i=0;i<N;i++)
{
bool bCon=IsConjugacy(vvG,a,i);
if(bCon)
ret.push_back(i);
}
return ret;
}
vector<vector<int>> ConjugacyClasses(const vector<vector<int>> &vvG)
{
vector<vector<int>> vv;
int N=vvG.size();
for(int i=0;i<N;i++)
{
vector<int> v=ConjugacyClasses(vvG,i);
vv.push_back(v);
}
sort(vv.begin(),vv.end());
vv.erase(unique(vv.begin(),vv.end()),vv.end());
return vv;
}
//G表示有限群，Con(G)表示G的共軛類個數，o(a)表示元素a的階。
//群的共軛類個數、長度
vector<int> ConjugacyClasses(int *R,int N,int delt=1)
{
vector<int> ret;
if(!IsGroup(R,N,delt))
return ret;
// // 共軛類數為1的有限群，只能是單位元群{e}。
//if(N==1)
// return 1;
// // 共軛類數為2的有限群，只能是2階循環群。
//if(N==2)
// return 2;
vector<vector<int> > vvG=Arr2ToVec2(R,N,delt);
vector<vector<int> > vv=ConjugacyClasses(vvG);
int len=vv.size();
for(int i=0;i<len;i++)
ret.push_back(vv[i].size());
sort(ret.begin(),ret.end());
return ret;
}
{
int *Arr[]={g_D4,&g_C8Mul[0][0],&g_Q8Mul[0][0],g_16_3,g_16_4,g_M16,g_D8,g_QD16,g_Q16,g_D4C2,g_16_12,g_16_13,g_D9,g_24_1,g_24_3,g_24_4,g_C4S3,g_D12,g_Q12C2,g_24_8,g_C3D4,g_C3Q8,g_S4,g_C2A4,g_C2C2S3};
int Nrr[]={8,8,8,16,16,16,16,16,16,16,16,16,18,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24,24};
int Drr[]={0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
const char *szName[]={"D_4","C_8","Q_8","GAP4[16,3]","GAP4[16,4]","M_16","D_8","QD_16","Q_16","D_4×C_2","GAP4[16,12]","GAP4[16,13]","D_9","GAP4[24,1]","SL(2,3)","GAP4[24,4]","C_4×S_3","D_12","Q_12×C_2","GAP4[24,8]","C_3×D_4","C_3×Q_8","S_4","C_2×A_4","C_2×C_2×S_3"};
int n=sizeof(Arr)/sizeof(Arr[0]);
for(int i=0;i<n;i++)
{
int *A=Arr[i];
int N=Nrr[i];
vector<int> v=ConjugacyClasses(A,N,Drr[i]);
string str="[";
for(int j=0;j<v.size();j++)
{
char sz[20]={0};
sprintf(sz,"%d,",v[j]);
str+=sz;
}
str.pop_back();
str+="]";
printf("%s：Con(%s)=%d,每個共軛類的長度=%s\n",szName[i],szName[i],v.size(),str.c_str());
}
system("pause");
return 0;
}
編號 GAP 序列號 性質 指數 中心 G/[G,G] 共軛類 子群 子群類 正規子群
1 1 循環 8 C8 C8 8 -- -- --
2 2 阿貝爾 4 C2×C4 C2×C4 8 -- -- --
3 5 阿貝爾 2 C23 C23 8 -- -- --
4 4 冪零 4 C2 C22 5 6 6 6
5 3 冪零 4 C2 C22 5 10 8 6
編號 GAP 序列號 性質 指數 中心 G/[G,G] 共軛類 子群 子群類 正規子群
1 2 循環 18 C2×C9 C2×C9 18 -- -- --
2 5 阿貝爾 6 C2×C32 C2×C32 18 -- -- --
3 1 兩面體 18 1 C2 6 16 6 4
4 4 可解 6 1 C2 6 28 12 7
5 3 可解 6 C3 C2×C3 9 14 9 6
G=D9由 3 個元素 {a1, a2, a3} 生成, 具有相應的階 ( 2, 9, 3 ). 它也由 2 個元素 {a1, a2} 生成, 相應的階為 ( 2, 9).
G 有 6 個元素共軛類, 16 個子群在 6 個子群共軛類里, 其中 4 是正規子群.
G=G18_5由 3 個元素 {a1, a2, a3} 生成, 具有相應的階 ( 2, 3, 3 ).
G 有 6 個元素共軛類, 28 個子群在 12 個子群共軛類里, 其中 7 是正規子群.
G=D3C3由 3 個元素 {a1, a2, a3} 生成, 具有相應的階 ( 2, 3, 3 ). 它也由 2 個元素 {a3, a2 a1} 生成, 相應的階為 ( 3, 6).
G 有 9 個元素共軛類, 14 個子群在 9 個子群共軛類里, 其中 6 是正規子群.
14種16階群
編號 GAP 序列號 性質 指數 中心 G/[G,G] 共軛類 子群 子群類 正規子群
1 1 循環 16 C16 C16 16 -- -- --
2 5 阿貝爾 8 C2×C8 C2×C8 16 -- -- --
3 2 阿貝爾 4 C42 C42 16 -- -- --
4 10 阿貝爾 4 C22×C4 C22×C4 16 -- -- --
5 14 阿貝爾 2 C24 C24 16 -- -- --
6 9 冪零 8 C2 C22 7 11 9 7
7 8 冪零 8 C2 C22 7 15 10 7
8 7 冪零 8 C2 C22 7 19 11 7
9 6 冪零 8 C4 C2×C4 10 11 10 9
10 13 冪零 4 C4 C23 10 23 20 17
11 4 冪零 4 C22 C2×C4 10 15 13 11
12 3 冪零 4 C22 C2×C4 10 23 17 11
13 12 冪零 4 C22 C23 10 19 19 19
14 11 冪零 4 C22 C23 10 35 27 19
15種24階群
編號 GAP 序列號 性質 指數 中心 G/[G,G] 共軛類 子群 子群類 正規子群
1 2 循環 24 C3×C8 C3×C8 24 -- -- --
2 9 阿貝爾 12 C2×C3×C4 C2×C3×C4 24 -- -- --
3 15 阿貝爾 6 C23×C3 C23×C3 24 -- -- --
4 6 兩面體 12 C2 C22 9 34 16 9
5 11 冪零 12 C2×C3 C22×C3 15 12 12 12
6 10 冪零 12 C2×C3 C22×C3 15 20 16 12
7 1 可解 24 C4 C8 12 10 8 7
8 12 可解 12 1 C2 5 30 11 4
9 3 可解 12 C2 C3 7 15 7 4
10 4 可解 12 C2 C22 9 18 12 9
11 8 可解 12 C2 C22 9 30 16 9
12 5 可解 12 C4 C2×C4 12 26 16 11
13 7 可解 12 C22 C2×C4 12 22 16 13
14 13 可解 6 C2 C2×C3 8 26 12 6
15 14 可解 6 C22 C23 12 54 32 21
共軛元素的定義：對於群G中的任意元素s，元素g和f=sgs^(-1)定義為互共軛元素，記為g~f。
自軛性: 任何元素與其本身共軛, 即g~g
對稱性: 若g~f, 則f~g.
傳遞性: 若g~f_1,g~f_2,則f_1~f_2。
類的定義：群G中所有相互共軛的元素構成的集合稱為群G的一個類。根據共軛關系的性質，群G的一個類中的元素可由該類中任一元素生成, 即f類={f'|f'=sfs^(-1),s∈G}，s取遍群G所有元素，重復元素sfs^(-1)只取一次。根據共軛的傳遞性可證: 兩個不同的類沒有公共元素。
定理：有限群的階是每一個類的元素個數的整數倍。
E.Landau定理（Frobenius猜想）：共軛類數為n的有限群，在同構意義下是有限的。
定理：有限群為交換群的充要條件是Con(G)=|G|。
定理：共軛類數為1的有限群，只能是單位元群C_1。共軛類數為2的有限群，只能是2階循環群C_2。共軛類數為3的有限群，是可解群，是3階循環群或者6階群。
Abel群G的每一共軛類只含一個元素，也就是說，G上每一個函數都是類函數。這種群的線性表示特別簡單。
定理9：下列性質是等價的：
1.G是一個Abel群。
2.G的一切不可約表示都是一級的。
定理7：G的不可約表示的個數（確切到同構）等於G的共軛類的個數。
G的兩個元素t和t'說是共軛的，如果存在s∈G使得t'=sts^(-1)；這是一個等價關系，這個關系將G划分成類（也叫做共軛類）。
——群G的共軛類個數k是G的不變量，G是Abel群當且僅當k=|G|
——群G的共軛類個數與群G的同階元個數分布是G的兩個不變量，同階元之間不一定共軛
20151006：GAP求有限群的共軛類個數以及每個共軛類的長度
gap> n:=18;;len:=NumberSmallGroups(n);;for i in [1..len] do Print(Size(ConjugacyClasses(SmallGroup(n,i))),","); od;
6,18,9,6,18,
gap> n:=8;;len:=NumberSmallGroups(n);;for i in [1..len] do Print(Size(ConjugacyClasses(SmallGroup(n,i))),","); od;
8,8,5,5,8,
gap> G:=SmallGroup(8,3);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 8 with 3 generators>
[ 8, 3 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f1*f2^G ]
5
1,2,2,1,2,
[ 8, 3 ],[ 4, 2 ],[ 4, 2 ],[ 8, 3 ],[ 4, 1 ],
gap> G:=SmallGroup(8,4);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 8 with 3 generators>
[ 8, 4 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f1*f2^G ]
5
1,2,2,1,2,
[ 8, 4 ],[ 4, 1 ],[ 4, 1 ],[ 8, 4 ],[ 4, 1 ],
gap> G:=SmallGroup(8,1);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 8 with 3 generators>
[ 8, 1 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f1*f2^G, f1*f3^G, f2*f3^G, f1*f2*f3^G ]
8
1,1,1,1,1,1,1,1,
[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],[ 8, 1 ],
gap> G:=SmallGroup(8,2);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 8 with 3 generators>
[ 8, 2 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f1*f2^G, f1*f3^G, f2*f3^G, f1*f2*f3^G ]
8
1,1,1,1,1,1,1,1,
[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],[ 8, 2 ],
gap> G:=SmallGroup(8,5);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 8 with 3 generators>
[ 8, 5 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f1*f2^G, f1*f3^G, f2*f3^G, f1*f2*f3^G ]
8
1,1,1,1,1,1,1,1,
[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],