数学 - 数学分析 - III.1 连续性

III.1 连续性

经验表明，即使一个函数通常非常复杂且难以描述，在实际应用中的函数一般存在一些重要的定性性质。这些性质中的其中一个便是连续性。对于一个函数 \(f:X\to Y\)，连续性度量了值域 \(f(X) \subseteq Y\) 中的微小变化是如何由定义域 \(X\) 中的微小变化引起的。为使得这有意义，集合 \(X\) 与 \(Y\) 必须赋予一些额外的结构以便给出“微小变化”的精确意义。显然度量空间是一个带有这种结构的合适的集合。

主要的性质与例子

定义 连续性

令 \(f: X \to Y\) 是一个度量空间 \((X,d_X)\) 与 \((Y,d_Y)\) 之间的映射，称 \(f\) 在 \(x_0 \in X\) 连续，如果对每一个 \(f(x_0) \in Y\) 的邻域 \(V\)，都存在 \(x_0\) 的一个邻域 \(U\) 使得 \(f(U) \subseteq V\)。

称映射 \(f: X \to Y\) 是连续的，若它在 \(X\) 中的每一点都连续。如果一点 \(x_0 \in X\)，\(f\) 在 \(x_0\) 不连续，则称映射 \(f\) 不连续。从 \(X\) 到 \(Y\) 的所有连续函数构成一个集合，记为 \(C(X,Y)\)，显然 \(C(X,Y)\) 是 \(Y^X\) 的子集。

有定义可知，要证明 \(f\) 在 \(x_0\) 的连续性，需要先假设 \(f(x_0)\) 的一个任意的邻域 \(V\) 给定，然后说明存在 \(x_0\) 的邻域 \(U\) 使得 \(f(U) \subseteq V\)，即 \(f(x) \in V,\forall x \in U\)。

连续性的定义用了邻域的概念，实际应用中更经常使用的是下面的等价刻画。

1.1 Proposition

函数 \(f: X \to Y\) 在 \(x_0 \in X\) 连续当且仅当对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta := \delta(x_0,\varepsilon) > 0\) 使得下式成立

\[d(f(x_0), f(x)) < \varepsilon, \quad \forall x \in X \quad (d(x_0,x) < \delta) \tag{1.1} \]

1.2 Corollary

令 \(E\) 和 \(F\) 是赋范线性空间，\(X \subseteq E\)，则 \(f : X \to F\) 在 \(x_0 \in X\) 上连续当且仅当对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta:=\delta(x_0,\varepsilon) > 0\) 满足

\[\|f(x) - f(x_0)\|_F < \varepsilon, \quad \forall x \in X \quad \|x - x_0\|_E < \delta \]

证明： 可直接由赋范线性空间中的度量的定义证得。证毕。

1.3 Examples

在下面的例子中，\(X\) 和 \(Y\) 都是度量空间。

(a) 平方根函数 \(\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, \quad x \mapsto \sqrt{x}\) 是连续的。

(b) 下取整函数 \(\lfloor \cdot \rfloor : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \lfloor x \rfloor := \max \{k \in \mathbb{Z} \, ; \, k \le x\}\) 在 \(x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\) 上连续，在 \(x_0 \in \mathbb{Z}\) 不连续。

(c) 狄利克雷函数 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 定义如下

\[f(x) := \left\{ \begin{align*} & 1, \quad x \in \mathbb{Q} \\ & 0, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{align*} \right. \]

函数对每一个 \(x_0 \in \mathbb{R}\) 都不连续。

(d) 假设 \(f : X \to \mathbb{R}\) 在 \(x_0 \in X\) 连续，且 \(f(x_0) > 0\)，则存在 \(x_0\) 的一个邻域 \(U\) 使得对所有 \(x \in U\) 有 \(f(x)>0\)。

(e) 称函数 \(f:X \to Y\) 是以李普希兹常数 \(\alpha > 0\) 李普希兹连续当且仅当

\[d(f(x),f(y)) \le \alpha d(x,y), \quad x,y \in X \]

则李普希兹连续函数必定是连续函数（逆命题不成立）。

证明：

证毕。

(f) 任一常数函数 \(X \to Y,x \mapsto x_0\) 是李普希兹连续的。

(g) 恒等映射 \(\text{id} : X \to X, \quad x \mapsto x\) 是李普希兹连续的。

(h) 令 \(E_1,\cdots,E_m\) 是赋范线性空间，则 \(E:=E_1 \times \cdots \times E_m\) 是一个赋范线性空间，其上定义如 Examples II.3.3(c) 所示的乘积范数 \(\|\cdot\|_{\infty}\)。给出正则投影

\[\text{\r}_k : E \to E_k, \quad x = (x_1,\cdots,x_m) \mapsto x_k, \quad 1 \le k \le m \]

可证明上式的正则投影是李普希兹连续的。特别地，投影 \(\text{pr}_k : \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}\) 是李普希兹连续的。

证明：

证毕。

(i) 对每一个这样形式的函数 \(z \mapsto \text{Re} (z)\)，\(z \mapsto \text{Im}(z)\) 和 \(z \mapsto \overline{z}\) 都在 \(\mathbb{C}\) 上是李普希兹连续的。

(j) 令 \(E\) 是赋范线性空间，则范数映射

\[\|\cdot\| : E \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \|x\| \]

是李普希兹连续的。

(k) 如果 \(A \subseteq X\) 且 \(f : X \to Y\) 在 \(x_0 \in A\) 连续，则限制映射 \(f|A : A \to Y\) 在 \(x_0\) 连续，这里的 \(A\) 是由 \(X\) 诱导的度量空间。

(I) 令 \(M \subseteq X\) 是 \(X\) 的一个非空子集，对任意 \(x \in X\)，记 \(x\) 到 \(M\) 的距离为

\[d(x,M) := \inf_{m \in M} d(x,m) \]

距离函数

\[d(\cdot,M) := X \to \mathbb{R}, \quad x \to d(x,M) \]

是李普希兹连续的。

证明：

证毕。

(m) 对任一个内积空间 \((E,(\cdot|\cdot))\)，内积 \((\cdot|\cdot) : E \times E \to \mathbb{K}\) 是连续的。

证明：

证毕。

(n) 令 \(E\) 和 \(F\) 是赋范线性空间，\(X \subseteq E\)，则函数 \(f:X \to F\) 在 \(x_0 \in X\) 的连续性不依赖于在 \(E\) 和在 \(F\) 上的等价范数的选择。

(o) 在度量空间 \(X\) 与 \(Y\) 之间的函数 \(f\) 被称为等距映射当且仅当 \(d(f(x),f(x')) = d(x,x')\) 对所有 \(x,x' \in X\) 成立，即是说，\(f\) 在度量空间 \(X\) 与 \(Y\) 之间“保持距离”。 显然，这样的函数是李普希兹连续的，且是 \(X\) 到它的像集 \(f(X)\) 的双射。

如果 \(E\) 和 \(F\) 都是赋范线性空间，且 \(T:E\to F\) 是线性映射，则 \(T\) 是等距映射当且仅当对所有的 \(x \in E\) 有 \(\|Tx\| = \|x\|\)。另外，若 \(T\) 是一个满射，则 \(T\) 是从 \(E\) 到 \(F\) 的等距同构，且 \(T^{-1}\) 也是等距映射。

序列连续性

邻域的概念是连续性定义和序列收敛定义的核心，这表明了一个函数的连续性能够用序列进行定义。

定义 序列收敛

度量空间 \(X\) 与 \(Y\) 之间的映射 \(f:X \to Y\) 被称为在 \(x \in X\) 序列连续，如果对任一 \(X\) 中的序列 \((x_k)\) 使得 \(\lim x_k = x\)，我们有 \(f(x_k) = f(x)\)。

1.4 Theorem

令 \(X\) 和 \(Y\) 是度量空间，则映射 \(f : X \to Y\) 在 \(x \in X\) 连续当且仅当它在 \(x\) 点序列连续。

证明：

证毕。

连续函数的加法与乘法

Theorem 1.4 使得将关于收敛序列的一些定理应用到连续函数上成为可能。在做之前，我们介绍一些定义。

令 \(M\) 是一个任意的集合，\(F\) 是一个线性空间，令 \(f\) 和 \(g\) 是函数，且 \(\text{dom}(f),\text{dom}(g) \subseteq M\)，并在 \(F\) 上取值。则函数 \(f\) 与 \(g\) 的和函数 \(f + g\) 定义为

\[f+g : \text{dom}(f + g) := \text{dom}(f) \cap \text{dom} (g) \to F, \quad x \mapsto f(x) + g(x) \]

类似地，对 \(\lambda \in \mathbb{K}\)，我们定义函数 \(\lambda f\)

\[\lambda f : \text{dom}(f) \to F, \quad x \mapsto \lambda f(x) \]

最后，若特别地有 \(F=\mathbb{K}\)，我们定义

\[\text{dom}(f \cdot g) := \text{dom}(f) \cap \text{dom} (g) \]

\[\text{dom}(f/g) := \text{dom}(f) \cap \{x \in \text{dom}(g) \, ; \, g(x) \neq 0\} \]

由此定义函数 \(f\) 与 \(g\) 的乘与除

\[f \cdot g: \text{dom} (f \cdot g) \to \mathbb{K}, \quad x \mapsto f(x) \cdot g(x) \]

\[f/g : \text{dom}(f/g) \to \mathbb{K}, \quad x \mapsto f(x)/g(x) \]

1.5 Proposition

设 \(X\) 是一个度量空间，\(F\) 是一个赋范线性空间，函数

\[f:\text{dom}(f) \subseteq X \to F, \quad g:\text{dom}(g) \subseteq X \to F \]

在 \(x_0 \in \text{dom} (f) \cap \text{dom}(g)\) 连续。

• \(f+g\) 和 \(\lambda f\) 在点 \(x_0\) 连续。

• 若 \(F = \mathbb{K}\)，则 $f \cdot g $ 在点 \(x_0\) 连续。

• 若 \(F = \mathbb{K}\) 且 \(g(x_0) \neq 0\)，则 \(f/g\) 在点 \(x_0\) 连续。

1.6 Corollary

(1) 有理函数是连续的。

(2) \(n\) 个变量的多项式是连续的（在 \(\mathbb{K}^n\)）中。

(3) \(C(X,F)\) 是 \(F^X\) 的子空间，也即从 \(X\) 到 \(F\) 连续函数构成一个线性空间。

1.7 Proposition

令 \(a = \sum a_k X^K\)

1.8 Theorem

令 \(X\)，\(Y\) 和 \(Z\) 是度量空间，设 \(f : X \to Y\) 在 \(x \in X\) 连续，且 \(g : Y \to Z\) 在 \(f(x) \in Y\) 连续，则复合 \(g \circ f : X \to Z\) 在 \(x\) 连续。

证明：

证毕。

1.9 Examples

令 \(X\) 是一个度量空间，\(E\) 是一个赋范线性空间。

(a) 令 \(f:X \to E\) 在点 \(x_0\) 连续，则函数 \(f\) 范数

\[\|f\| : X \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \|f(x)\| \]

在点 \(x_0\) 连续。

(b) 令函数 \(g:\mathbb{R} \to X\) 连续，则函数 \(\hat{g} : E \to X, \quad x \mapsto g(\|x\|)\) 连续。

(c)