函数在闭区间连续性质
这个名字看起来就感觉跟基础的点集拓扑有点关系，确界原理，闭区间套，实数的最小上界性质。
闭区间连续定义
若函数 \(f\) 在闭区间 \([a, b]\) 上有定义，在 \((a, b)\) 连续，且在 \(a, b\) 分别右连续和左连续，那么称 \(f\) 在 \([a, b]\) 连续。
引理 a
设 \(\{x_n\}\sub [a, b]\)，\(x_n \to x_0\) 则 \(x_0 \in [a, b]\)
证明：从 \(a \le x_n \le b\) 可得 \(a \le \lim{x_n} = x_0 \le b\)
当初看极限的不等式的时候并没有意识到这个 ≤ 的含金量
这个不等式可以反证一下:
若 \(x_0 < a\)，那么取 \(\epsilon = x_0 - a\)，是不存在 \(x_n\) 满足极限定义的
这个引理也因此对开区间不成立： \(\{x_n\}\sub (a, b), x_n \to x_0\)，则 \(x_0\) 不一定 \(\in (a, b)\)
从确界原理到单调有界
若 \(\{a_n\}\) 单调且有上界，那么该数列收敛到上确界
由确界原理，有上界故上确界存在，记为 \(\beta\)，下证 \(\{a_n\}\) 收敛到 \(\beta\)
\(\forall \epsilon > 0\), 若不存在 \(N>0\)，使得 \(\forall n > N, \beta - a_n < \epsilon\)
也即 \(\forall N>0\)，\(\exist m > N, a_m \le \beta - \epsilon\)
那么因为 \(\{a_n\}\) 单调，所以 \(a_0 \le a_1 \le .. \le a_m \le \beta - \epsilon\)
若存在 \(k\) 使得 \(a_k > \beta - \epsilon\)，则取 \(m=k\) 会矛盾，因此不存在 \(k\)
因此存在 \(N>0\)，使得 \(\forall n > N, \beta - a_n < \epsilon\)
也即 \(\{a_n\}\) 收敛到 \(\beta\)
从单调有界到闭区间套
闭区间列 \(\{[a_n, b_n]\}\) 满足下面两个条件：
- \([a_{n+1}, b_{n+1}] \sub [a_n, b_n]\)
- \(\lim_{n\to \infin} (b_n - a_n) = 0\)
那么有且仅有一个 \(x\in \R, \forall n, x\in [a_n, b_n]\)
证明:
\(\{a_n\}\) 有上界（任意 \(b_n\)），故有上确界，记为 \(c_1\)，同理 \(\{b_n\}\) 有下确界，记为 \(c_2\)
由单调有界知 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 收敛，故
所以 \(\lim_{n\to \infin} b_n = c_2 = c_1 = \lim_{n\to \infin}a_n\)
因此 \(c_1\) 满足 \(\forall n, c_1 \in [a_n, b_n]\)
若 \(c' < c_1\) 也满足，那么 \(c'\) 是 \(\{a_n\}\) 上界，矛盾，另一边同理
因此 \(c_1\) 是题设唯一实数
介值定理（零点存在性）
\(f\) 在 \([a, b]\) 连续，且 \(f(a)f(b) < 0\) 那么必存在 \(c\in (a, b)\) 使得 \(f(c) = 0\)
二分，闭区间套
存在性似乎都只能用实数的完备性来证，确界原理，闭区间套等等
函数在某点连续，则在其某邻域上有界
这个从连续的定义出发来证
连续定义：
设 \(f\) 在 \(x_0\) 的邻域 \(U(x_0,\eta)\) 上有定义，且 \(\forall \epsilon>0, \exist \delta >0 , s.t. ~\forall x\in U(x_0, \delta)\)
此时 \(f(x_0) - \epsilon < f(x) < \epsilon + f(x_0)\)，故 \(f(x)\) 在 \(U(x_0, \delta)\) 有界
函数在闭区间连续则有界
若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 连续，那么 \(f(x)\) 有且能取到最小值和最大值
反证。取得一个点使得他的邻域无界
二分 \([a, b]\) 用闭区间套得到一个闭区间序列和一个点 \(c\)（不妨设 \(c\in (a, b)\)），这些闭区间序列都无界。
因为 \(f\) 在 \([a, b]\) 连续，故 \(f\) 在 \(c\) 连续。因此 \(f\) 在 \(U(c, \eta)\) 上连续，然而，必能取到 \(N > 0\) 使得 \(\forall n>N\)，\([a_n, b_n]\sub U(c, \eta)\)，故而 \(U(c, \eta)\)，矛盾。