数学 - 数学分析 - II.1 序列的收敛

II.1 序列的收敛

这一节我们考虑一个函数，该函数定义于自然数，并对应取一个可数数。对于这样一个函数 \(\varphi: \mathbb{N} \to X\)，我们将着重考虑函数 \(\varphi(n)\) 在 \(n \to \infty\) 时函数值的行为。由于我们只能有限次计算函数 \(\varphi\) 的函数值，因此我们不能真正地达到“无穷”，这使得我们必须用一种新的方法来研究关于“无穷”的命题。这样的方法形成了收敛序列理论，也就是下面将要介绍的。

序列

定义 序列

令 \(X\) 是一个集合，一个在集合 \(X\) 中的序列就是一个从 \(\mathbb{N}\) 到集合 \(X\) 的映射。如果 \(\varphi:\mathbb{N} \to X\) 是一个序列，我们也可以如下写该序列

\[(x_n)\quad \text{or} \quad (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \quad \text{or} \quad (x_0,x_1,x_2,\cdots) \]

其中，\(x_n := \varphi(n)\) 是序列 \(\varphi\) 的第 \(n\) 个元素。

在 \(\mathbb{K}\) 中的序列称为数列，在 \(\mathbb{K}\) 中的所有数列构成集合 \(\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\)，而集合 \(\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\) 是一个向量空间（见例子 \(1.12.3(e)\)），我们也令该集合为 \(s(\mathbb{K})\)。举例，当 \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) 时，\((x_n)\) 一个实数序列。

1.1 Remarks

(a) 注意区分一个序列 \((x_n)\) 和它的像集 \(\{x_n ; n \in \mathbb{N}\}\)。

(b) 令 \((x_n)\) 是一个 \(X\) 上的序列，\(E\) 是一个性质。我们说，对几乎所有 \((x_n)\) 中的元素都具有性质 \(E\)。意思是，存在一个 \(m \in \mathbb{N}\) 使得对所有的 \(n \geqslant m\) 都有 \(E(x_n)\) 成立。当然，对 \(n < m\) 来说，\(E(x_n)\) 可以正确，也可以不正确。

如果存在一个子集 \(N \subseteq \mathbb{N}\)，\(\text{Num} (N) = \infty\)，并且对任一个 \(n \in \mathbb{N}\) 有 \(E(x_n)\) 成立。那么称 \((x_n)\) 中有无穷多个元素具有性质 \(E\)。

(c) 对于 \(m \in \mathbb{N}^{\times}\)，函数 \(\psi:m+\mathbb{N} \to X\) 也可以被称为 \(X\) 上的序列。也即是说，\((x_j)_{j\geqslant m} = (x_m, x_{m+1},\cdots)\) 也是一个 \(X\) 上的序列，即使该序列的下标并没有从 \(0\) 开始。

我们应该认识到距离的概念在收敛概念中的中心地位。在数域 \(\mathbb{K}\) 中，我们能够借助绝对值函数来决定两点之间的距离，为了探究在一个抽象集合 \(X\) 上的序列的收敛，我们需要赋予集合 \(X\) 特殊的拓扑结构，以使得集合 \(X\) 中任两个被决定的元素之间存在距离。

度量空间

给出度量空间的定义。

定义 度量空间

令 \(X\) 是一个集合，映射 \(d: X \times X \to R^+\) 如果满足以下性质，就被称为集合 \(X\) 上的一个度量。

• \(d(x,y)=0 \iff x = y\) （正定性）

• \(d(x,y) = d(y,x), \, \, x,y \in X\)（对称性）

• \(d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y), \, \, x,y,z \in X\)（三角不等式）

如果 \(d\) 是集合 \(X\) 上的一个度量，就称 \((X,d)\) 是一个度量空间，然后我们称 \(d(x,y)\) 是度量空间 \(X\) 中点 \(x\) 与点 \(y\) 之间的距离。

在度量空间 \((X,d)\) 中，对 \(a \in X\) 和 \(r > 0\)，定义中心为 \(a\)，半径为 \(r\) 的开球：

\[\mathbb{B}(a,r) = \mathbb{B}_X (a,r) := \{ x \in X \, ; \, d(a,x) < r\} \]

在度量空间 \((X,d)\) 中，对 \(a \in X\) 和 \(r > 0\)，定义中心为 \(a\)，半径为 \(r\) 的闭球：

\[\overline{\mathbb{B}}(a,r) = \overline{\mathbb{B}}_X (a,r) := \{ x \in X \, ; \, d(a,x) \le r\} \]

1.2 Examples

(a) \(\mathbb{K}\) 是一个度量空间，定义的度量就是一般的距离

\[\mathbb{K} \times \mathbb{K} \to \mathbb{R}^+, \quad (x,y) \mapsto |x-y| \]

(b) \((X,d)\) 是一个度量空间，\(Y\) 是 \(X\) 的一个非空子集，然后有度量 \(d\) 在 \(Y \times Y\) 上的限制映射 \(d_Y := d \, | \,Y \times Y\)，可以证明限制映射 \(d_Y\) 是 \(Y\) 上的一个度量，将其称为诱导度量。\((Y,d_Y)\) 是一个度量空间，被称为 \(X\) 的度量子空间。

(c) 任何一个 \(\mathbb{C}\) 的非空子集都是一个度量空间，该度量空间的度量为从 \(\mathbb{C}\) 中的自然度量得到的诱导度量。

(d) \(X\) 是一个非空集合，定义映射 \(d\) 满足 \(d(x,y) := 1, \, x \neq y\) 和 \(d(x,x)=0\)，可以证明该映射为一个度量，将其称为 \(X\) 的离散度量。

(e) \((X_j, d_j), \, 1 \le j \le m\) 是度量空间。定义

\[X := X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_m \]

\[d(\bm{x},\bm{y}) := \max_{1 \le j \le m} d_j (x_j,y_j), \quad \forall \bm{x} = \{x_1, \cdots , x_m\} \in X, \quad \forall \bm{y} \in X \]

可以证明 \(d\) 是一个 \(X\) 上的度量，将其称为乘积度量，并且称度量空间 \((X,d)\) 称为度量空间 \((X_j, d_j)\) 的乘积。给出乘积度量空间的一个例子：

\[\mathbb{B}_X (a,r) = \prod_{i=1}^m \mathbb{B}_{X_j} (a_j,r), \quad \overline{\mathbb{B}}_X (a,r) = \prod_{i=1}^m \overline{\mathbb{B}}_{X_j} (a_j,r) \]

上式对所有的 \(a:= (a_1,\cdots,a_m) \in X\) 和 \(r > 0\) 成立。

1.3 Proposition

\((X,d)\) 是一个度量空间，有下式成立：

\[d(x,y) \ge |d(x,z) - d(z,y)|, \quad \forall x,y,z \in X \]

证明：由三角不等式 \(d(x,y) - d(z,y) \le d(x,z)\)，交换 \(z\) 和 \(y\) 得到

\[d(x,z) - d(y,z) \le d(x,y) \]

对上式再交换 \(x\) 和 \(y\) 得到

\[d(y,z) - d(x,z) \le d(y,x) \]

证毕。

度量空间 \(X\) 的子集 \(U\) 被称为点 \(a \in X\) 的邻域，如果存在 \(r > 0\) 使得 \(\mathbb{B}(a,r) \subseteq U\)。点 \(a\) 的所有邻域构成的集合记作 \(\mathcal{U}\)，即有

\[\mathcal{U} (a) := \mathcal{U}_X (a) := \{U \subseteq X \, ; \, U \, \text{是} \, a \, \text{的邻域}\} \subseteq \mathcal{P} (X) \]

1.4 Examples

\(X\) 是一个度量空间，\(a \in X\)。

(a) 对任一 \(\varepsilon > 0\)，\(\mathbb{B} (a, \varepsilon)\) 和 \(\overline{\mathbb{B}} (a, \varepsilon)\) 是点 \(a\) 的邻域，我们分别称为点 \(a\) 的开 \(\varepsilon-\)邻域 和 闭 \(\varepsilon-\)邻域。

(b) 显然 \(X \in \mathcal{U} (a)\)。且若 \(U_1,U_2 \in \mathcal{U} (a)\)，那么 \(U_1 \cap U_2\) 和 \(U_1 \cup U_2\) 也属于 \(\mathcal{U} (a)\)。对任一个 \(U \subseteq X\)，若它包含点 \(a\) 的一个邻域，则 \(U\) 属于 \(\mathcal{U} (a)\)。

(c) 令 \(X:= [0,1]\)，并赋予 \(\mathbb{R}\) 上的度量。则 \([1/2,1]\) 是点 \(1\) 的邻域，但不是点 \(1/2\) 的邻域。

在接下来的部分，\(X := (X, d)\) 是一个度量空间，\((x_n)\) 是 \(X\) 中的一个序列。

聚点

定义 聚点

如果点 \(a \in X\) 的任一个邻域都包含有序列 \((x_n)\) 中无穷多个元素，则称点 \(a\) 是序列 \((x_n)\) 的一个聚点。

我们给出关于聚点的几点等价刻画。

1.5 Proposition

以下几点是等价的：

(1) \(a\) 是序列 \((x_n)\) 的聚点。

(2) 对任意 \(U \in \mathcal{U}(a)\) 和 \(m \in \mathbb{N}\)，存在 \(n \ge m\) 使得 \(x_n \in U\)。

(3) 对任意 \(\varepsilon > 0\) 和 \(m \in \mathbb{N}\)，存在 \(n \ge m\) 使得 \(x_n \in \mathbb{B} (a,\varepsilon)\)。

1.6 Examples

(a) 实数数列 \(((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}}\) 有两个聚点，分别是 \(1\) 和 \(-1\)。

(b) 复数序列 \(((i)^n)_{n \in \mathbb{N}}\) 有四个聚点，分别是 \(\pm 1\) 和 \(\pm i\)。

(c) 常数序列 \((x,x,\cdots)\) 存在唯一的聚点 \(x\)。

(d) 自然数序列 \((n)_{n \in \mathbb{N}}\) 没有聚点。

(e) 令 \(\varphi\) 是 \(\mathbb{N}\) 到 \(\mathbb{Q}\) 的一个双射（由 \(1.9.4\) 可知这样的映射是存在的），定义序列 \((x_n)\) 为 \(x_n := \varphi(n)\)。则全体实数都是序列 \((x_n)\) 的聚点。

证明：假设存在 \(a \in \mathbb{R}\) 不是序列 \((x_n)\) 的聚点，然后由 \(2.1.5\) 聚点的等价刻画知，存在 \(\varepsilon > 0\) 和 \(m \in \mathbb{N}\) 使得

\[x_n \notin \mathbb{B} (a,\varepsilon) = (a-\varepsilon, a+\varepsilon), \quad \forall n \ge m \]

即是说，区间 \((a-\varepsilon, a+\varepsilon)\) 仅包含了有限多个有理数，与 \(1.10.8\) 矛盾。

证毕。

收敛

定义 收敛

如果点 \(a\) 的任一邻域都包含了序列 \((x_n)\) 中几乎所有的元素，则称序列 \((x_n)\) 收敛，且收敛点为 \(a\)（或极限为 \(a\)）。记为

\[\lim_{n \to \infty} x_n = a \quad \text{or} \quad x_n \to a \, (n \to \infty) \]

按上式的写法有时也称，当 \(n\) 趋于无穷时，序列 \(x_n\) 收敛到 \(a\)。若一个序列 \((x_n)\) 不收敛，则称该序列发散。

1.7 Proposition

下面命题是等价的：

(1) \(\lim x_n = a\)。

(2) 任一 \(U \in \mathcal{U}(a)\)，存在 \(N := N(U)\) 使得对所有 \(n \ge N\) 有 \(x_n \in U\)。

(3) 任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N := N(\varepsilon)\) 使得对所有 \(n \ge N\) 有 \(x_n \in \mathbb{B} (a,\varepsilon)\)。

下面给出一些简单的例子。

1.8 Examples

(a) 对于实数序列 \((1/n)_{n \in \mathbb{N}^{\times}}\)，我们有 \(\lim (1/n) = 0\)。

(b) 定义复数序列 \((z_n)\) 为

\[z_n := \frac{n+2}{n+1} + i \frac{2n}{n+2} \]

我们可以得到 \(\lim z_n = 1+2i\)。

证明：任给一个 \(\varepsilon > 0\)，由 \(1.10.7\) 可知，存在一个 \(N \in \mathbb{N}\) 使得 \(1/N < \varepsilon / 8\)。然后对所有的 \(n \ge N\)，有

\[\frac{n+2}{n+1} - 1 = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{N} < \frac{\varepsilon}{8} < \frac{\varepsilon}{2}, \quad 2 - \frac{2n}{n+2} = \frac{4}{n+2} < \frac{4}{N} < \frac{\varepsilon}{2} \]

得到

\[|z_n - (1+2i)|^2 = \left| \frac{n+2}{n+1} - 1 \right|^2 + \left|\frac{2n}{n+2} - 2 \right|^2 < \frac{\varepsilon^2}{4} + \frac{\varepsilon^2}{4} < \varepsilon, \quad \forall \, n \ge N \]

证毕。

(c) 常数序列 \((a,a,\cdots)\) 收敛到 \(a\)。

(d) 实数序列 \(((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}}\) 发散。

(e) 令 \(X\) 是度量空间 \((X_j, d_j), 1\le j \le m\) 的乘积。然后序列 \((x_n) = \left( (x_n^1, x_n^2, \cdots, x_n^m)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) 在度量空间 \(X\) 中收敛到点 \(a:=(a^1, \cdots, a^m)\) 当且仅当对每一个 \(j \in \{1,\cdots,m\}\)，序列 \((x_n^j)_{n \in \mathbb{N}}\) 在度量空间 \(X_j\) 中收敛到点 \(a^j \in X_j\)。

证明：由 \(2.1.2\) 可以得到，对任意 \(\varepsilon > 0\)，几乎所有 \(x_n\) 都属于 \(\mathbb{B}_X (a, \varepsilon) = \prod_{j=1}^m \mathbb{B}_{X_j} (a^j, \varepsilon)\)，当且仅当，对每一个 \(j=1,\cdots,m\)，几乎所有 \(x_n^j\) 都属于 \(\mathbb{B}_{X_j} (a^j, \varepsilon)\)。

证毕。

有界集

定义 有界集

集合 \(Y \subseteq X\) 被称为 \(d-\)有界或是在 \(X\) 中以度量 \(d\) 有界，是说存在 \(M > 0\) 有

\[d(x,y) < M, \quad \forall x, y \in Y \]

我们可以定义 \(Y\) 的直径

\[diam(Y) := \sup_{x,y \in Y} d(x,y) \]

显然 \(Y\) 有界时，\(Y\) 的直径是一个有限数。序列 \((x_n)\) 有界是指它的像 \(\{x_n\, ; \, n \in \mathbb{N}\}\) 有界。

1.9 Examples

(a) 对所有的 \(a \in X\) 和 \(r > 0\)，\(\mathbb{B} (a,r)\) 和 \(\overline{\mathbb{B}} (a,r)\) 在 \(X\) 中有界。

(b) 任一个有界集的子集是有界的，有限个有界集的并集是有界的。

(c) 度量空间 \(X\) 的子集 \(Y\) 在 \(X\) 有界当且仅当存在 \(x_0 \in X\) 和 \(r > 0\) 使得 \(Y \subseteq \mathbb{B}_X (x_0, r)\)。如果 \(Y \neq \emptyset\) 可以进一步加强命题为存在 \(x_0 \in Y\)。

(d) 有界区间是有界的。

(e) \(\mathbb{K}\) 中的子集 \(Y\) 是有界的，当且仅当，存在 \(M > 0\) 使得对所有的\(y \in Y\) 有 \(|y| < M\)。

1.10 Proposition

任一个收敛序列必定有界。

证明：假设 \(x_n \to a\)，由收敛的定义知，取 \(\varepsilon = 1\)，则存在 \(N \in \mathbb{N}\)，使得对所有的 \(n \ge N\) 有 \(x_n \in \mathbb{B}(a, 1)\)。由三角不等式可以得

\[d(x_n, x_m) \le d(x_n, a) + d(a, x_m) \le 2, \quad m, n \ge N \]

又因为存在 \(M \ge 0\) 使得

\[d(x_j, x_k) \le M, \quad j, k \le N \]

综上可以得到对所有 \(n,m \in \mathbb{N}\) 有 \(d(x_n, x_m) \le M+2\)。

证毕。

极限的唯一性

1.11 Proposition

令 \((x_n)\) 收敛到点 \(a\)，则 \(a\) 是序列 \((x_n)\) 的唯一一个聚点。

证明：显然 \(a\) 是序列 \((x_n)\) 的一个聚点。为了证明唯一性，假设存在 \(b \neq a\)，且 \(b\) 是 \(X\) 中的某个点

证毕。

1.12 Remark

1.11 Proposition 的逆命题是错误的，即是说，存在一个发散的序列，它有且仅有一个聚点。例如

\[\left( \frac{1}{2}, 2, \frac{1}{3}, 3, \cdots \right) \]

1.13 Corollary

收敛序列的极限点唯一。

作为 Proposition 1.11 的推论，我们可直接证得。

子序列

定义 子序列

令 \(\varphi = (x_n)\) 是一个在 \(X\) 中的序列，并且 \(\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) 是一个严格递增函数，然后我们将 \(\varphi \circ \psi \in X^{\mathbb{N}}\) 称为 \(\varphi\) 的子序列。根据我们之前对序列 \(\varphi\) 的介绍，我们拓展记号 \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\)，将子序列 \(\varphi \circ \psi\) 写做 \((x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}\)，其中 \(n_k = \psi(k)\)。由于 \(\psi\) 严格递增，因此我们有 \(n_0 < n_1 < n_2 < \cdots\)。

1.14 Examples

序列 \(\left( (-1)^n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) 有两个常数子序列，分别是

\[\left( (-1)^{2k}\right)_{k \in \mathbb{N}} = (1,1,\cdots), \quad \left( (-1)^{2k+1}\right)_{k \in \mathbb{N}} = (-1, -1, \cdots) \]

1.15 Proposition

如果序列 \((x_n)\) 收敛且极限为 \(a\)，则每一个 \((x_n)\) 的子序列 \((x_{n_k})\) 也收敛，且有

\[\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = a \]

证明：

证毕。

1.16 Examples

对 \(m \ge 2\)，有

\[\frac{1}{k^m} \to 0 \, (k \to \infty) \quad \text{and} \quad \frac{1}{m^k} \to 0 \, (k \to \infty) \]

证明：

证毕。

1.17 Proposition

点 \(a\) 是序列 \((x_n)\) 的聚点当且仅当存在一个 \((x_n)\) 的子序列 \((x_{n_k})\) 收敛到点 \(a\)。

证明：

证毕。