数学 - 数学分析 - II.3 赋范线性空间

II.3 赋范线性空间

在这一节中，我们考虑线性空间上的度量。当然，我们给定的该度量应该与线性空间结构是兼容的，所以我们先研究在线性空间 \(\mathbb{R}^2\) 上已经直观存在的距离的概念。特别地，如果我们记 \(\mathbb{R}^2\) 上的一个向量 \(x\) 的长度为 \(\|x\|\)，则两个点 \(x,y \in \mathbb{R}^2\) 之间的距离为 \(\|x-y\|\)。我们之后会看到这定义了 \(\mathbb{R}^2\) 上的一个度量（见 Remark 3.1(a)）。函数 \(x \mapsto \|x\|\) 不仅与度量有关系，还与线性空间的结构有关联。

首先，我们注意到 \(\mathbb{R}^2\) 上一个向量的长度是非非负的，即是说，\(\|x\| \ge 0\)。而且向量的长度为零当且仅当它是零向量。

其次，对 \(x \in \mathbb{R}^2\) 和 \(\alpha > 0\)，我们将 \(\alpha x\) 看作是向量 \(x\) 以因子 \(\alpha\) 伸长（或缩短）的结果。如果综合 \(\alpha < 0\) 的情况，我们得到向量 \(\alpha x\) 的长度 \(\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|\)。

最后，对所有 \(\mathbb{R}^2\) 中的向量 \(x\) 和 \(y\)，我们有三角不等式 \(\|x+y\|\le \|x\| + \|y\|\)。

我们自然地导出来赋范线性空间的概念。

范数

定义 范数

令 \(E\) 是一个 \(\mathbb{K}\) 上的线性空间，函数 \(\|\cdot\|:E \to \mathbb{R}^+\) 被称为一个范数，如果满足以下条件：

• \(\|x\|=0 \iff x=0\)。

• \(\| \lambda x \| = |\lambda| \|x\|, \, x \in E, \, \lambda \in \mathbb{K}\)

• \(\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|, \, x,y \in E\)

对 \((E, \|\cdot\|)\) 由线性空间 \(E\) 和度量 \(\|\cdot\|\) 组成，将其称为赋范线性空间。

3.1 Remarks

令 \(E:= (E,\|\cdot\|)\) 是一个赋范线性空间。

(a) 定义 \(E\) 上的度量

\[\begin{align*} d : E \times E & \to \mathbb{R}^+ \\ (x,y) & \mapsto \|x-y\| \end{align*} \]

称 \(d\) 为范数诱导的度量。因此任一个赋范线性空间也是一个度量空间。

(b) 反三角不等式对范数成立：

\[\|x-y\| \ge \left| \|x\| - \|y\| \right|, \quad x,y \in E \]

(c) 由 (a) 可知，在第一节所有关于度量空间的性质也对赋范线性空间 \(E\) 保持。特别地，“邻域”、“聚点”和“收敛”的概念也可以在 \(E\) 上定义。

例如，在 \(E\) 中的序列 \((x_n)\) 收敛到 \(x\) 可以表示为：

\[x_n \to x \in E \iff \forall \varepsilon>0, \, \exist N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \ge N, \, \|x_n - x\| \le \varepsilon \]

进一步，在第二节中那些证明中没有用到 \(\mathbb{K}\) 中的域结构和序结构的定理对于 \(E\) 中的序列也成立。

特别地，Remarks 2.1 和 Propositions 2.2 和 2.10 对任一赋范线性空间也成立。

球

给定 \(a \in E\) 和 \(r > 0\)，我们定义中心为 \(a\)，半径为 \(r\) 的开球和闭球。

\[\mathbb{B}_E (a,r) := \mathbb{B}(a,r) := \{x \in E \, ; \, \|x-a\| < r\} \]

\[\bar{\mathbb{B}}_E (a,r) := \bar{\mathbb{B}} (a,r) := \{x \in E \, ; \, \|x-a\| \le r\} \]

注意到该定义与度量空间 \((E,d)\) 是一致的，其中 \(d\) 是由范数诱导的度量。我们有时将 \(E\) 中的单位开球和单位闭球写作

\[\mathbb{B} := \mathbb{B} (0,1) := \{x \in E \, ; \, \|x\| < 1\} \]

\[\bar{\mathbb{B}} := \bar{\mathbb{B}} (0,1) := \{x \in E \, ; \, \|x\| \le 1\} \]

使用 (1.4.1) 的记号可以得到

\[r \mathbb{B} = \mathbb{B} (0,r), \quad r \bar{\mathbb{B}} = \bar{\mathbb{B}} (0,r), \quad a + r \mathbb{B} = \mathbb{B} (a,r), \quad a + r \bar{\mathbb{B}} = \bar{\mathbb{B}} (a,r) \]

有界集

\(E\) 中的一个子集 \(X\) 在 \(E\) 中是有界的，如果它在其诱导度量空间中有界。

3.2 Remarks

令 \(E := (E, \|\cdot\|)\) 是一个赋范线性空间。

(a) \(X \subset E\) 有界当且仅当存在 \(r > 0\) 使得 \(X \subseteq r \mathbb{B}\)。

(b) 如果 \(X\) 和 \(Y\) 是 \(E\) 中的非空有界子集，则 \(X \bigcup Y\)，\(X+Y\) 和 \(\lambda X\)（\(\lambda \in \mathbb{K}\)）也是有界集。

(c) Examples 1.2(d) 表明，在每一个线性空间 \(V\)，都存在一个度量使得 \(V\) 有界。但是，如果 \(V\)不是一个零空间，则范数的第二点性质表明在 \(V\) 中没有能让 \(V\) 有界的范数。（范数比度量更严苛）

例子

我们给在 Section I.12 中介绍的线性空间定义合适的的范数。

3.3 Examples

(a) 绝对值 \(|\cdot|\) 是线性空间 \(\mathbb{K}\) 上的度量（今后若考虑 \(\mathbb{K}\) 上的范数时，都如此考虑）。

(b) 令 \(F\) 是赋范线性空间 \((E,\|\cdot\|)\) 上的子空间，限制在 \(F\) 上考虑的范数 \(\|\cdot\|_F := \|\cdot\| \big| F\) 是 \(F\) 上的一个范数。因此 \(F := (F, \|\cdot\|_F)\) 是一个赋范线性空间，其上定义的范数是诱导的限制范数。在不会导致矛盾的情况下，我们仍用 \(\|\cdot\|\) 表示在 \(F\) 诱导的限制范数。

(c) 令 \((E_j, \|\cdot\|_j),1\le j \le m\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的一组线性空间，定义

\[\|x\|_{\infty} := \max_{1 \le j \le m} \|x_j\|_j, \quad x = (x_1, \cdots, x_m) \in E := E_1 \times \cdots \times E_m \]

上式在乘积线性空间 \(E\) 上定义了一个范数，称为乘积范数。由该范数诱导的 \(E\) 上的度量与 Examples 1.2(e) 的乘积度量保持一致，只需让 \(d_j\) 是从 \(E_j\) 的范数 \(\|\cdot\|_j\) 诱导的度量。

(d) 令 \(m \in \mathbb{N}^\times\)，\(\mathbb{K}^m\) 是一个定义有极大范数的线性空间。

\[|x|_{\infty} := \max_{1 \le j \le m} |x_j|, \quad x = (x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{K}^m \]

令 \(m=1\)，则有 \((\mathbb{K}^1, |\cdot|_{\infty}) = (\mathbb{K}, |\cdot|)=\mathbb{K}\)。

有界函数空间

令 \(X\) 是一个非空集，\((E,\|\cdot\|)\) 是一个赋范线性空间，一个函数 \(u \in E^X\) 被称为有界，如果 \(u\) 的像在 \(E\) 中是有界的。对 \(u \in E^X\)，定义范数

\[\|u\|_{\infty} := \|u\|_{\infty, X} := \sup_{x \in X} \|u(x)\| \in (\mathbb{R}^+ \cup \{0\}) \tag{3.2} \]

3.4 Remarks

(a) 令 \(u \in E^X\)，则以下表诉是等价的：

• \(u\) 有界。

• \(u(X)\) 在 \(E\) 中有界。

• 存在 \(r > 0\) 使得对所有 \(x \in X\) 有 \(\|u(x)\| \le r\)。

• \(\|u\|_{\infty} < \infty\)。

(b) 显然 \(\text{id} \in \mathbb{K}^{\mathbb{K}}\) 不是有界的，因此 \(\|\text{id}\|_{\infty} = \infty\)。

Remarks 3.4(b) 表明 \(\|\cdot\|_{\infty}\) 可能不是线性空间 \(E^X\) 上的一个范数。因此我们定义

\[B(X,E) := \{u \in E^X \, ; \, u \, \text{有界}\} \]

称 \(B(X,E)\) 是从 \(X\) 到 \(E\) 的有界函数空间。

3.5 Proposition

\(B(X,E)\) 是 \(E^X\) 的一个子空间，且 \(\|\cdot\|_{\infty}\) 是一个范数，称其为 \(B(X,E)\) 上的上确界范数。

证明：

证毕。

3.6 Remarks

(a) 如果 \(X := \mathbb{N}\)，则 \(B(X,E)\) 是 \(E\) 上有界序列组成的赋范线性空间。特别地，令 \(E := \mathbb{K}\)，同时将 \(B(\mathbb{N}, \mathbb{K})\) 记作 \(\ell_{\infty}\)，即

\[\ell_{\infty} := \ell_{\infty} (\mathbb{K}) := B(\mathbb{N}, \mathbb{K}) \]

称其为有界序列赋范线性空间，定义其上的上确界范数为：

\[\|(x_n)\|_{\infty} = \sup_{n \in \mathbb{N}} |x_n|, \quad (x_n) \in \ell_{\infty} \]

(b) 由 Proposition 1.10 可知，任一个收敛序列都是有界的。由 Remark 2.3 可知 \(c\) 和 \(c_0\) 都是 \(\ell_{\infty}\) 的子空间。因此 \(c_0\) 和 \(c\) 也可以定义上确界范数成为赋范线性空间，且 \(c_0 \subseteq c \subseteq \ell_{\infty}\)。

(c) 如果对每某个 \(m \in \mathbb{N}^{\times}\) 有 \(X=\{1,\cdots,m\}\)，则

\[B(X,E) = (E^m, \|\cdot\|_{\infty}) \]

其中，\(\|\cdot\|_{\infty}\) 是 Examples 3.3(c) 的乘积范数，因此这里的记号与 Examples 3.3(c) 是保持一致的。

内积空间

我们现在考虑赋范线性空间 \(E := (\mathbb{R}^2, |\cdot|_{\infty})\)，按之前的记号，我们可以得到 \(E\) 的单位开球

\[\mathbb{B}_E := \{x \in \mathbb{R}^2 \, ; \, |x|_{\infty} < 1\} = \{ (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \, ; \, -1 < x_1 , x_2 < 1\} \]

因此 \(\mathbb{B}_E\) 是一个边长为 \(2\)，中心在 \(0\) 点的平面上的正方形。在任何一个赋范线性空间 \((F,\|\cdot\|)\)，单位球的边界为集合 \(\{x \in F \, ; \, \|x\| = 1\}\)，被称为在 \((F, \|\cdot\|)\) 中的单位球面。

定义 内积
令 \(E\) 是一个域 \(\mathbb{K}\) 上的线性空间，函数

\[\begin{align*} (\cdot | \cdot) : E \times E & \to \mathbb{K} \\ (x,y) & \mapsto (x|y) \end{align*} \tag{3.4} \]

被称为 \(E\) 上的标量积或内积如果以下成立：

• \((x|y) = \overline{(y|x)}, \quad x , y \in E\)

• \((\lambda x + \mu y | x) = \lambda (x | z) + \mu (y | z), \quad x,y,z \in E, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{K}\)

• \((x|x) \ge 0, \quad x \in E \quad \text{and} \quad (x|x) = 0 \iff x = 0\)

定义了内积 \((\cdot|\cdot)\) 的线性空间被称为内积空间，写作 \((E,(\cdot|\cdot))\)。在不引起矛盾的情况下，我们用 \(E\) 代替 \((E,(\cdot|\cdot))\)。

3.7 Remarks

(a) 取 \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\)，则内积的第一点性质可以写作

\[(x|y) = (y|x), \quad x,y \in E \]

换句话说，函数 \((3.4)\) 在 \(E\) 为实线性空间时是对称的。

(b) 由第一点性质和第二点性质可知

\[(x|\lambda y + \mu z) = \overline{\lambda} (x|y) + \overline{\mu} (x|z), \quad x,y,z \in E, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{K} \tag{3.5} \]

因此，对任一固定 \(x \in E\)，函数 \((x|\cdot) : E \to \mathbb{K}\) 是线性共轭的。

(c) 对所有 \(x,y \in E\)，有 \((x \pm y | x \pm y) = (x|y) \pm 2 \text{Re} (x|y) + (y|y)\)。

(d) 对所有 \(x \in E\) 有 \((x|0) = 0\)。

令 \(m \in N^{\times}\)。对所有 \(x = (x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{K}^m\) 和 \(y=(y_1,\cdots,y_m) \in \mathbb{K}^m\)，定义

\[(x|y) := \sum_{i=1}^m x_i \overline{y}_i \]

我们容易验证上式定义了 \(\mathbb{K}^m\) 上的一个内积，将其称为 \(\mathbb{K}^m\) 的欧几里得内积。

Cauchy-Schwarz 不等式

在初步的介绍之后，我们能证明关于内积空间的一个最有用的定理。

3.8 Theorem

令 \((E,(\cdot | \cdot))\) 是一个内积空间，则

\[|(x|y)|^2 \le (x|x) (y|y), \quad x, y \in E \tag{3.6} \]

上式等号成立当且仅当 \(x\) 与 \(y\) 线性相关。称式 \((3.6)\) 为 \(\text{Cauchy-Schwarz}\) 不等式。

证明：

证毕。

3.9 Corollary

令 \(\xi_1,\cdots,\xi_m\) 和 \(\eta_1,\cdots,\eta_m\) 是 \(\mathbb{K}\) 中的元素，则

\[\left| \sum_{j=1}^m \xi_j \overline{\eta}_j\right|^2 \le \left( \sum_{j=1}^m |\xi_j|^2\right) \left( \sum_{j=1}^m |\eta_j|^2\right) \tag{3.8} \]

等式成立当且仅当存在 \(\alpha,\beta \in \mathbb{K}\) 使得 \((\alpha,\beta) \neq (0,0)\) 且 \(\alpha \xi_j + \beta \eta_j = 0,\forall j=1,\cdots,m\)。

证明：

证毕。

3.10 Theorem

令 \((E,(\cdot|\cdot))\) 是一个内积空间，则可以定义

\[\|x\| := \sqrt{(x|x)}, \quad x \in E \]

则 \(\|\cdot\|\) 是 \(E\) 中的范数，称其为由内积 \((\cdot|\cdot)\) 诱导的范数。

证明：

证毕。

根据 Theorem 3.10 我们给一个约定，任一内积空间 \((E,(\cdot|\cdot))\) 都被视为一个赋范线性空间，其上定义的范数为内积诱导的范数。

从一个内积诱导得到的范数也叫做 \(\text{Hilbert}\) 内积。

3.11 Corollary

令 \((E,(\cdot|\cdot))\) 是一个内积空间，则

\[|(x|y)| \le \|x\| \|y\|, \quad x,y \in E \]

欧几里得空间

一个特别重要的例子是 \(\mathbb{K}^m\) 上的欧几里得内积空间。由于我们会非常频繁地在这个内积空间中进行讨论，为方便起见，有必要事先做一些约定。

除非有特别说明，我们考虑的 \(\mathbb{K}^m\) 上被赋予欧几里得内积 \((\cdot|\cdot)\) 和由该内积诱导的范数，并称该范数为欧几里得范数。

\[|x| := \sqrt{(x|x)} = \sqrt{\sum_{j=1}^m |x_j|^2}, \quad x=(x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{K}^m \]

以实数作为例子，我们有时将内积 \((x|y)\) 写作 \(x \cdot y\)。

现在对向量空间 \(\mathbb{K}^m\) 我们已经定义了两种范数，一种极大范数

\[|x|_{\infty} = \max_{1\le j \le m} |x_j|, \quad x=(x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{K}^m \]

一种欧几里得范数 \(|\cdot|\)，我们还可以定义另一种范数

\[|x|_1 := \sum_{j=1}^m |x_j|, \quad x=(x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{K}^m \]

下面的命题展现了 \(\text{Cauchy-Schwarz}\) 不等式的进一步应用，用它说明了欧几里得范数与范数 \(|\cdot|_1\) 与范数 \(|\cdot|_{\infty}\) 是可比较的。

3.12 Proposition

令 \(m \in \mathbb{N}^{\times}\)，则有

\[|x|_{\infty} \le |x| \le \sqrt{m} |x|_{\infty}, \quad \frac{1}{\sqrt{m}} |x|_1 \le |x| \le |x|_1, \quad x \in \mathbb{K}^m \]

证明：

证毕。

等价范数

令 \(E\) 是一个线性空间，\(E\) 上的两个范数 \(\|\cdot\|_1\) 与 \(\|\cdot\|_{\infty}\) 是等价的当且仅当存在 \(K \le 1\) 使得

\[\frac{1}{K} \|x\|_1 \le \|x\|_2 \le K \|x\|_1, \quad x \in E \tag{3.9} \]

将两个范数等价记作 \(\|\cdot\|_1 \sim \|\cdot\|_2\)。

3.13 Remarks

(a) 对于一个给定的线性空间，考虑其上的所有范数构成的集合中，不难证明 \(\sim\) 对于该集合的元素是一个等价关系。

(b) Proposition 3.12 的一个等价描述是

\[|\cdot|_1 \sim |\cdot| \sim |\cdot|_{\infty} \quad \text{on} \quad \mathbb{K}^m \]

(c) 为了对 Proposition 3.12 做更详细的介绍，我们将实欧几里得单位开球记作 \(\mathbb{B}^m\)，即

\[\mathbb{B}^m := \mathbb{B}_{\mathbb{R}^m} \]

类似地，记 \(\mathbb{B}_1^m\) 与 \(\mathbb{B}_{\infty}^m\) 分别是 \((\mathbb{R}^m,|\cdot|_1)\) 和 \((\mathbb{R}^m,|\cdot|_{\infty})\) 的单位开球。则 Proposition 3.12 可以等价表述为

\[\mathbb{B}^m_{\infty} \subseteq \mathbb{B} \subseteq \sqrt{m} \, \mathbb{B}^m_{\infty}, \quad \mathbb{B}_1^m \subseteq \mathbb{B}^m \subseteq \sqrt{m} \, \mathbb{B}_1^m \]

乘积空间上的收敛

由之前讨论的结果，对 \(\mathbb{K}^m\) 上的收敛序列，我们现在有了一个简单，但非常有用的的描述。

3.14 Proposition

令 \(m \in \mathbb{N}^{\times}\)，\(n \in \mathbb{N}\)，\(x_n = (x_n^1,\cdots,x_n^m) \in \mathbb{K}^m\)，则以下描述是等价的：

(1) 序列 \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) 收敛到 \(x=(x^1,\cdots,x^m) \in \mathbb{K}^m\)。

(2) 对任一 \(k \in \{1,\cdots,m\}\)，序列 \((x_n^k)_{n \in \mathbb{N}}\) 收敛到 \(x^k \in \mathbb{K}\)。

证明：

证毕。

Proposition 3.14 中的第二点刻画经常被称为序列 \((x_n)\) 的分量收敛，因此 Proposition 3.14 可以被非严格地表述为：\(\mathbb{K}^m\) 中的序列收敛当且仅当它的所有分量收敛。因此原则上说，研究 \(\mathbb{K}\) 中的序列收敛已经足够了，事实上，根据 Remark 3.13(e)，研究 \(\mathbb{R}\) 上的收敛就足够了。