数学分析——数列极限：数列极限的概念

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数列极限：数列极限的概念

要学习数列极限，首先要搞清楚，什么是数列？

数列基础

我们所熟知的数列有：

• 三角形数
• 正方形数
• 斐波那契数列
• ……

在中学阶段，我们已经学习过数列的基础知识。

定义 1（数列）：按照一定次序排列的一列数称为 数列（Sequence of number）。

数列中的每一个数称为该数列的 项，数列中的每个项都与所对应的序号有关。

数列的一般性质可以表示为：

\[x_1,x_2,\cdots,x_n.\cdots \]

简单地记作 \(\{x_n\}\)。数列中的第一项称为 首项，\(x_n\) 称为数列的 通项。

在 定义1 中，并没有限制数列包含的项数，按照数列项数是否有限，数列分为 有穷数列 和 无穷数列。有穷数列并没有什么值得特别研究的地方，因此我们重点研究的是 无穷数列。

另外，在中学阶段，我们学习过两种特殊的数列：等差数列 和 等比数列。

等差数列

等差数列：基础

等差数列 又称为 算术数列。

数列的后一项与前一项的差恒为常数的数列称为 等差数列。

设 数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列，\(a_1\) 为首项，\(a_n\) 为通项，\(d\) 为公差，则有：

• \(a_1\)；

• \(a_2=a_1+d\)；

• \(a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d\)；

• ……

• \(a_n=a_1+(n-1)d\)。

等差数列：前 n 项和

令 \(S_n\) 为等差数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和，则有：

\[\begin{aligned} 2S_n &=(a_1+a_2+\cdots+a_n)+(a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1) \\ &=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots +(a_n+a_1) \\ &=n(a_1+a_n) \end{aligned} \]

因此有：

\[S_n=\frac{n(a_1+a_{n})}{2}=a_1n+\frac{n(n-1)d}{2} \]

等比数列

等差数列：基础

等比数列 又称为 几何数列。

数列的后一项与前一项（不为零）的比恒为常数的数列称为 等比数列。

设 数列 \(\{a_n\}\) 为等差数列，\(a_1\) 为首项，\(a_n\) 为通项，\(q\) 为公比，则有：

• \(a_1\)；
• \(a_2=a_1q\)；
• \(a_3=a_2q=a_1q^2\)；
• ……
• \(a_n=a_{n-1}q=a_1q^{n-1}\)。

等差数列：前 n 项和

令 \(S_n\) 为等比数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和，则有：

\[S_n = a_1+a_2+\cdots+a_n= a_1(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}) \]

而 \(q\cdot S_n\) 有

\[q\cdot S_n = a_1(q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^n) \]

因此有：

\[S_n-q\cdot S_n = a_1(1-q^n) \]

即有：

\[S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_n\cdot q}{1-q} \]

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以上，即为中学阶段所基础到的数列理论。下面，我们来更深层次地讨论数列理论。其中最重要的是数列的极限理论。

数列极限

定义 1 较为直观地定义了数列，下面结合集合理论，给出更加严谨的数列定义。

定义 2（数列）：定义域为正整数集的函数

\[f:\mathbb{N}_{+} \rightarrow \mathbb{X}(\mathbb{X} \subset \mathbb{C}) \quad \text{或} \quad x_n = f(n),n=1,2,3,\cdots \]

为 数列。

在微积分或者数学分析中，我们只研究 实数列，通常所指的 数列 即为实数列。

定义 3（实数列）：定义域为正整数集的函数

\[f:\mathbb{N}_{+} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{或} \quad x_n = f(n),n=1,2,3,\cdots \]

为 实数列，简称 数列。

注 1：定义 2、3 与定义 1 有明显的不同。初学者可能会纠结这样一个问题：

按照定义 1，数列是一列数，或者说是按一定次序排列的数，而在定义 2、3 中，数列是一个函数，或者，数列是一个映射，两者怎么等同呢？

这里我们不纠结于两者概念形式上的不同，究其本质，他们是等价的。按照后者定义，数列可以理解为一种 整序变量，与函数中的 变量 本质上没有什么不同。事实上，术语 数列 与 整序变量并不加以区分（详细内容，请参考 菲赫金哥尔茨的微积分学教程 第一卷）。

注 2：思考数列与集合的区别，尤其是数集 与 数列 的区别。

• 数列是一列数，数集也可以是一列数，两者有什么区别呢？
• 注意集合元素的无序性，数列中的各项数是有次序的。如
  • 集合 \(\{1,2,3,4\}\) 与 集合 \(\{4,3,2,1\}\) 是同一个集合，而数列 \(x_n:1,2,3,4\) 与数列 \(y_n:4,3,2,1\) 不是同一个集合。
• 注意集合元素的互异性，数列中的各项数是允许重复的。如
  • 集合 \(\{1,1,1,1\}\) 与集合 \(\{1\}\) 表示同一个集合，而数列 \({x_n}:1,1,1,\cdots,1,\cdots\) 则表示一个各项均为 \(1\) 的常数列。

数列极限：定义

定义 4（数列极限）：设 \(\{x_n\}\) 为一数列，\(a\) 为一实常数，若对于任意给定的 \(\epsilon>0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n>N\) 时，成立

\[|x_n-a|<\epsilon \text{，} \]

则称数列 \(\{x_n\}\) 收敛（converge）于 \(a\)，\(a\) 称为数列 \(\{x_n\}\) 的 极限（limit），记作

\[\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}x_n=a \quad \text{或}\quad x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty) \text{，} \]

读作：“\(n\) 趋于无穷时，\(x_n\) 趋于 \(a\)”。

极限定义的理解：

1. 若数列 \(\{x_n\}\) 的极限为 \(a\)，则从某一项（第 \(N\) 项）开始，数值 \(x_n\) 与 \(a\) 相差任意小。

2. 注意 \(\epsilon\) 的任意性

   • 正数 \(\epsilon\) 必须是任意给定的，不能用一个很小的数进行代替。

   • “任意给定的 \(\epsilon>0\) “ 中的 ”\(\epsilon\) ” 虽然是任意给定的，但在描述极限时，应倾向于理解为 任意小 而非 任意大，意为：

     \[\text{无论} ~ \epsilon \text{取得有多小，只要}~ n ~ \text{取得足够大，总能成立} ~ |x_n-a|<\epsilon. \]

   • 既然强调的是 \(\epsilon\) 的任意小，那么允许将定义中的 \(\forall \epsilon>0\) 更改为

   \[\forall \epsilon \in (0,1) \text{、} \forall \epsilon \in (0,\frac{1}{2})\text{……} \]

3. 注意 \(N\) 对 \(\epsilon\) 的依赖性

   • 在正数 \(\epsilon\) 给定之后，满足条件 “\(\forall \epsilon>0,|x_n-a|<\epsilon\)” 的 \(N\) 对 \(\epsilon\) 的择取有一定的 依赖性。
   • 注意：\(N\) 对 \(\epsilon\) 仅有一定的依赖关系，没有 函数关系。
   • 常用 \(N(\epsilon)\)、\(N_{\epsilon}\) 等来代替 \(N\)，以凸显这种依赖关系。
   • \(N\) 对 \(\epsilon\) 的依赖性具体表现为：
     • \(\epsilon\) 越小，满足条件的 \(N\) 越大；\(\epsilon\) 越大，满足条件的 \(N\) 越小。
     • 当 \(\epsilon\) 足够大时，任意的正整数 \(N\) 均满足条件，即数列中的所有项都有 \(|x_n-a|<\epsilon\)，此时对描述数列收敛与否没有任何作用。

数列极限：敛散性

根据数列的收敛与否，可将数列分为 收敛数列 与 发散数列。

有极限的数列称为 收敛数列，反之，称为 发散数列。

下面给出几个命题，以帮助理解数列的敛散性。

命题 1：数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)。

• 语言描述：即定义

  “对于任意给定的 \(\epsilon>0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n>N\) 时，成立 \(|x_n-a|<\epsilon\)”。

• \(\epsilon-N\) 符号表述：

  \[\forall \epsilon >0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N:|x_n-a|<\epsilon. \]

命题 2：数列 \(\{x_n\}\) 不收敛于 \(a\)。

• 语言描述：即定义的否定形式。根据量词取反的 对偶法则 ，有

  "存在 \(\epsilon_0>0\) ，使得对于任意的正整数 \(N\)，存在 \(n>N\)，成立 \(|x_n-a|>\epsilon_0\)"。

• \(\epsilon-N\) 符号表述：

  \[\exists \epsilon_0>0,\forall N \in \mathbb{N}_{+},\exists n>N:|x_n-a|\ge \epsilon_0. \]

命题 3：数列 \(\{x_n\}\) 收敛。

• 语言描述：由定义

  “存在一个实数 \(a\)，对于任意给定的 \(\epsilon>0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n>N\) 时，成立 \(|x_n-a|<\epsilon\)”。

• \(\epsilon-N\) 符号表述：

  \[\exists a\in \mathbb{R},\forall \epsilon >0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N:|x_n-a|<\epsilon. \]

命题 4：数列 \(\{x_n\}\) 发散。

• 语言没描述：命题 3 的否定形式。根据量词取反的 对偶法则 ，有

  "存在 \(\epsilon_0>0\) ，使得对于任意的正整数 \(N\)，存在 \(n>N\)，成立 \(|x_n-a|>\epsilon_0\)"。

• \(\epsilon-N\) 符号表述：

  \[\forall a \in \mathbb{R},\exists \epsilon_0>0,\forall N \in \mathbb{N}_{+},\exists n>N:|x_n-a|\ge \epsilon_0. \]

数列极限：几何意义

角度 1：将数列 \(\{x_n\}\) 中的各项在数轴上描述，即有直观的几何解释：

自某一项开始，数列 \(\{x_n\}\) 中的所有项均落在 以 \(a\) 点为中心、长度为 \(2\epsilon\) 线段内。

角度 2：既然数列是正整数集 \(\mathbb{N}_{+}\) 到实数集 \(\mathbb{R}\) 的函数，当然可以使用 图像法对其进行描述。

可将数列表示为函数形式：

\[x=f(n),n \in \mathbb{N}_{+} \]

则图像如下：

从图像中可以看出，数列中从第 \(N+1\) 项开始的所有项都落在以 \(a\) 为中心，宽度为 \(2\epsilon\) 的”条带“中。引入 邻域 的概念来描述这种关系，即：

\[\forall \epsilon>0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},n>N:x_n \in U(a;\epsilon) \]

因此，数列也可以按照这种几何性质进行定义。

定义 5（数列极限） ：设 \(\{x_n\}\) 为数列，\(a\) 为一个实常数，若对于任意给定的 \(\epsilon>0\)，在邻域 \(U(a;\epsilon)\) 外至多存在数列中的 有限项，则称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)，\(a\) 即为数列 \(\{x_n\}\) 的 极限。

基于该定义，同样可使用 \(\epsilon-N\) 语言描述数列的 敛散性。

（1）数列收敛：\(\exists a\in \mathbb{R},\forall \epsilon>0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N:x_n \in U(a;\epsilon)\)。

（2）数列发散：\(\forall a\in \mathbb{R},\exists \epsilon_0>0,\forall N \in \mathbb{N}_{+},\exists n>N:x_n \notin U(a;\epsilon_0)\)。

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参考文献

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