Task02 数列极限
数列极限
- 定义
不存在这样的数a 分两种情况：
1. a为\(\infty\)
2. 数列没有一个趋于某个极限a的形式（振荡）
- 定理：如果数列\(\{a_n\}\)收敛，则其任何子列\(\{a_{n_{k}}\}\)也是收敛的，且\(\lim_{k \to \infty}a_{n_k} = \lim_{k \to \infty}a_{n}\)。
主要用来反证一个数列不收敛，若存在一个子列不收敛，则其主列一定不收敛 。（子列：从原数列取出若干个元素，并按原顺序组成的新数列）
性质
- 唯一性：如果数列存在极限，则极限是唯一的。
- 有界性：如果数列极限存在，则数列是有界的，不同于函数极限的局部有界性。
- 保号性：设数列存在极限\(a\)，且\(a > 0\)（ 或\(a < 0\)） ,则存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，有\(a>0\)。
运算规则
设\(\lim_{n \to \infty}x_n = a\)，\(\lim_{n \to \infty}=b\)，则
- \(\lim_{n \to \infty}(x_n \pm y_n)=a \pm b.\) 数列和差的极限等于和差的极限。
- \(\lim_{n \to \infty} x_ny_n = ab.\) 数列乘积的极限等于极限的乘积。
- 若\(b \ne 0,y_n\ne0\)，则\(\lim _{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}.\) 数列相除的极限等于极限相除。
夹逼准则
如果数列 \(\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}\)及 \(\left\{z_{n}\right\}\)满足下列条件
\(\text{(1)}y_{n} \leqslant x_{n} \leqslant z_{n}(n=1,2,3, \cdots);\)
\(\text{(2)}\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=a \text {. }\)
则数列\(\left\{x_{n}\right\}\) 的极限存在, 且\(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a\).
单调有界准则
单调有界数列必有极限，即若数列\(\{x_n\}\)单调增加（减少）且有上界（下界），则\(\lim_{n \to \infty} x_n\)存在.