數學 - 數學分析 - II.1 序列的收斂

II.1 序列的收斂

這一節我們考慮一個函數，該函數定義於自然數，並對應取一個可數數。對於這樣一個函數 \(\varphi: \mathbb{N} \to X\)，我們將着重考慮函數 \(\varphi(n)\) 在 \(n \to \infty\) 時函數值的行為。由於我們只能有限次計算函數 \(\varphi\) 的函數值，因此我們不能真正地達到“無窮”，這使得我們必須用一種新的方法來研究關於“無窮”的命題。這樣的方法形成了收斂序列理論，也就是下面將要介紹的。

序列

定義 序列

令 \(X\) 是一個集合，一個在集合 \(X\) 中的序列就是一個從 \(\mathbb{N}\) 到集合 \(X\) 的映射。如果 \(\varphi:\mathbb{N} \to X\) 是一個序列，我們也可以如下寫該序列

\[(x_n)\quad \text{or} \quad (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \quad \text{or} \quad (x_0,x_1,x_2,\cdots) \]

其中，\(x_n := \varphi(n)\) 是序列 \(\varphi\) 的第 \(n\) 個元素。

在 \(\mathbb{K}\) 中的序列稱為數列，在 \(\mathbb{K}\) 中的所有數列構成集合 \(\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\)，而集合 \(\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\) 是一個向量空間（見例子 \(1.12.3(e)\)），我們也令該集合為 \(s(\mathbb{K})\)。舉例，當 \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) 時，\((x_n)\) 一個實數序列。

1.1 Remarks

(a) 注意區分一個序列 \((x_n)\) 和它的像集 \(\{x_n ; n \in \mathbb{N}\}\)。

(b) 令 \((x_n)\) 是一個 \(X\) 上的序列，\(E\) 是一個性質。我們說，對幾乎所有 \((x_n)\) 中的元素都具有性質 \(E\)。意思是，存在一個 \(m \in \mathbb{N}\) 使得對所有的 \(n \geqslant m\) 都有 \(E(x_n)\) 成立。當然，對 \(n < m\) 來說，\(E(x_n)\) 可以正確，也可以不正確。

如果存在一個子集 \(N \subseteq \mathbb{N}\)，\(\text{Num} (N) = \infty\)，並且對任一個 \(n \in \mathbb{N}\) 有 \(E(x_n)\) 成立。那么稱 \((x_n)\) 中有無窮多個元素具有性質 \(E\)。

(c) 對於 \(m \in \mathbb{N}^{\times}\)，函數 \(\psi:m+\mathbb{N} \to X\) 也可以被稱為 \(X\) 上的序列。也即是說，\((x_j)_{j\geqslant m} = (x_m, x_{m+1},\cdots)\) 也是一個 \(X\) 上的序列，即使該序列的下標並沒有從 \(0\) 開始。

我們應該認識到距離的概念在收斂概念中的中心地位。在數域 \(\mathbb{K}\) 中，我們能夠借助絕對值函數來決定兩點之間的距離，為了探究在一個抽象集合 \(X\) 上的序列的收斂，我們需要賦予集合 \(X\) 特殊的拓撲結構，以使得集合 \(X\) 中任兩個被決定的元素之間存在距離。

度量空間

給出度量空間的定義。

定義 度量空間

令 \(X\) 是一個集合，映射 \(d: X \times X \to R^+\) 如果滿足以下性質，就被稱為集合 \(X\) 上的一個度量。

• \(d(x,y)=0 \iff x = y\) （正定性）

• \(d(x,y) = d(y,x), \, \, x,y \in X\)（對稱性）

• \(d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y), \, \, x,y,z \in X\)（三角不等式）

如果 \(d\) 是集合 \(X\) 上的一個度量，就稱 \((X,d)\) 是一個度量空間，然后我們稱 \(d(x,y)\) 是度量空間 \(X\) 中點 \(x\) 與點 \(y\) 之間的距離。

在度量空間 \((X,d)\) 中，對 \(a \in X\) 和 \(r > 0\)，定義中心為 \(a\)，半徑為 \(r\) 的開球：

\[\mathbb{B}(a,r) = \mathbb{B}_X (a,r) := \{ x \in X \, ; \, d(a,x) < r\} \]

在度量空間 \((X,d)\) 中，對 \(a \in X\) 和 \(r > 0\)，定義中心為 \(a\)，半徑為 \(r\) 的閉球：

\[\overline{\mathbb{B}}(a,r) = \overline{\mathbb{B}}_X (a,r) := \{ x \in X \, ; \, d(a,x) \le r\} \]

1.2 Examples

(a) \(\mathbb{K}\) 是一個度量空間，定義的度量就是一般的距離

\[\mathbb{K} \times \mathbb{K} \to \mathbb{R}^+, \quad (x,y) \mapsto |x-y| \]

(b) \((X,d)\) 是一個度量空間，\(Y\) 是 \(X\) 的一個非空子集，然后有度量 \(d\) 在 \(Y \times Y\) 上的限制映射 \(d_Y := d \, | \,Y \times Y\)，可以證明限制映射 \(d_Y\) 是 \(Y\) 上的一個度量，將其稱為誘導度量。\((Y,d_Y)\) 是一個度量空間，被稱為 \(X\) 的度量子空間。

(c) 任何一個 \(\mathbb{C}\) 的非空子集都是一個度量空間，該度量空間的度量為從 \(\mathbb{C}\) 中的自然度量得到的誘導度量。

(d) \(X\) 是一個非空集合，定義映射 \(d\) 滿足 \(d(x,y) := 1, \, x \neq y\) 和 \(d(x,x)=0\)，可以證明該映射為一個度量，將其稱為 \(X\) 的離散度量。

(e) \((X_j, d_j), \, 1 \le j \le m\) 是度量空間。定義

\[X := X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_m \]

\[d(\bm{x},\bm{y}) := \max_{1 \le j \le m} d_j (x_j,y_j), \quad \forall \bm{x} = \{x_1, \cdots , x_m\} \in X, \quad \forall \bm{y} \in X \]

可以證明 \(d\) 是一個 \(X\) 上的度量，將其稱為乘積度量，並且稱度量空間 \((X,d)\) 稱為度量空間 \((X_j, d_j)\) 的乘積。給出乘積度量空間的一個例子：

\[\mathbb{B}_X (a,r) = \prod_{i=1}^m \mathbb{B}_{X_j} (a_j,r), \quad \overline{\mathbb{B}}_X (a,r) = \prod_{i=1}^m \overline{\mathbb{B}}_{X_j} (a_j,r) \]

上式對所有的 \(a:= (a_1,\cdots,a_m) \in X\) 和 \(r > 0\) 成立。

1.3 Proposition

\((X,d)\) 是一個度量空間，有下式成立：

\[d(x,y) \ge |d(x,z) - d(z,y)|, \quad \forall x,y,z \in X \]

證明：由三角不等式 \(d(x,y) - d(z,y) \le d(x,z)\)，交換 \(z\) 和 \(y\) 得到

\[d(x,z) - d(y,z) \le d(x,y) \]

對上式再交換 \(x\) 和 \(y\) 得到

\[d(y,z) - d(x,z) \le d(y,x) \]

證畢。

度量空間 \(X\) 的子集 \(U\) 被稱為點 \(a \in X\) 的鄰域，如果存在 \(r > 0\) 使得 \(\mathbb{B}(a,r) \subseteq U\)。點 \(a\) 的所有鄰域構成的集合記作 \(\mathcal{U}\)，即有

\[\mathcal{U} (a) := \mathcal{U}_X (a) := \{U \subseteq X \, ; \, U \, \text{是} \, a \, \text{的鄰域}\} \subseteq \mathcal{P} (X) \]

1.4 Examples

\(X\) 是一個度量空間，\(a \in X\)。

(a) 對任一 \(\varepsilon > 0\)，\(\mathbb{B} (a, \varepsilon)\) 和 \(\overline{\mathbb{B}} (a, \varepsilon)\) 是點 \(a\) 的鄰域，我們分別稱為點 \(a\) 的開 \(\varepsilon-\)鄰域 和 閉 \(\varepsilon-\)鄰域。

(b) 顯然 \(X \in \mathcal{U} (a)\)。且若 \(U_1,U_2 \in \mathcal{U} (a)\)，那么 \(U_1 \cap U_2\) 和 \(U_1 \cup U_2\) 也屬於 \(\mathcal{U} (a)\)。對任一個 \(U \subseteq X\)，若它包含點 \(a\) 的一個鄰域，則 \(U\) 屬於 \(\mathcal{U} (a)\)。

(c) 令 \(X:= [0,1]\)，並賦予 \(\mathbb{R}\) 上的度量。則 \([1/2,1]\) 是點 \(1\) 的鄰域，但不是點 \(1/2\) 的鄰域。

在接下來的部分，\(X := (X, d)\) 是一個度量空間，\((x_n)\) 是 \(X\) 中的一個序列。

聚點

定義 聚點

如果點 \(a \in X\) 的任一個鄰域都包含有序列 \((x_n)\) 中無窮多個元素，則稱點 \(a\) 是序列 \((x_n)\) 的一個聚點。

我們給出關於聚點的幾點等價刻畫。

1.5 Proposition

以下幾點是等價的：

(1) \(a\) 是序列 \((x_n)\) 的聚點。

(2) 對任意 \(U \in \mathcal{U}(a)\) 和 \(m \in \mathbb{N}\)，存在 \(n \ge m\) 使得 \(x_n \in U\)。

(3) 對任意 \(\varepsilon > 0\) 和 \(m \in \mathbb{N}\)，存在 \(n \ge m\) 使得 \(x_n \in \mathbb{B} (a,\varepsilon)\)。

1.6 Examples

(a) 實數數列 \(((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}}\) 有兩個聚點，分別是 \(1\) 和 \(-1\)。

(b) 復數序列 \(((i)^n)_{n \in \mathbb{N}}\) 有四個聚點，分別是 \(\pm 1\) 和 \(\pm i\)。

(c) 常數序列 \((x,x,\cdots)\) 存在唯一的聚點 \(x\)。

(d) 自然數序列 \((n)_{n \in \mathbb{N}}\) 沒有聚點。

(e) 令 \(\varphi\) 是 \(\mathbb{N}\) 到 \(\mathbb{Q}\) 的一個雙射（由 \(1.9.4\) 可知這樣的映射是存在的），定義序列 \((x_n)\) 為 \(x_n := \varphi(n)\)。則全體實數都是序列 \((x_n)\) 的聚點。

證明：假設存在 \(a \in \mathbb{R}\) 不是序列 \((x_n)\) 的聚點，然后由 \(2.1.5\) 聚點的等價刻畫知，存在 \(\varepsilon > 0\) 和 \(m \in \mathbb{N}\) 使得

\[x_n \notin \mathbb{B} (a,\varepsilon) = (a-\varepsilon, a+\varepsilon), \quad \forall n \ge m \]

即是說，區間 \((a-\varepsilon, a+\varepsilon)\) 僅包含了有限多個有理數，與 \(1.10.8\) 矛盾。

證畢。

收斂

定義 收斂

如果點 \(a\) 的任一鄰域都包含了序列 \((x_n)\) 中幾乎所有的元素，則稱序列 \((x_n)\) 收斂，且收斂點為 \(a\)（或極限為 \(a\)）。記為

\[\lim_{n \to \infty} x_n = a \quad \text{or} \quad x_n \to a \, (n \to \infty) \]

按上式的寫法有時也稱，當 \(n\) 趨於無窮時，序列 \(x_n\) 收斂到 \(a\)。若一個序列 \((x_n)\) 不收斂，則稱該序列發散。

1.7 Proposition

下面命題是等價的：

(1) \(\lim x_n = a\)。

(2) 任一 \(U \in \mathcal{U}(a)\)，存在 \(N := N(U)\) 使得對所有 \(n \ge N\) 有 \(x_n \in U\)。

(3) 任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N := N(\varepsilon)\) 使得對所有 \(n \ge N\) 有 \(x_n \in \mathbb{B} (a,\varepsilon)\)。

下面給出一些簡單的例子。

1.8 Examples

(a) 對於實數序列 \((1/n)_{n \in \mathbb{N}^{\times}}\)，我們有 \(\lim (1/n) = 0\)。

(b) 定義復數序列 \((z_n)\) 為

\[z_n := \frac{n+2}{n+1} + i \frac{2n}{n+2} \]

我們可以得到 \(\lim z_n = 1+2i\)。

證明：任給一個 \(\varepsilon > 0\)，由 \(1.10.7\) 可知，存在一個 \(N \in \mathbb{N}\) 使得 \(1/N < \varepsilon / 8\)。然后對所有的 \(n \ge N\)，有

\[\frac{n+2}{n+1} - 1 = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{N} < \frac{\varepsilon}{8} < \frac{\varepsilon}{2}, \quad 2 - \frac{2n}{n+2} = \frac{4}{n+2} < \frac{4}{N} < \frac{\varepsilon}{2} \]

得到

\[|z_n - (1+2i)|^2 = \left| \frac{n+2}{n+1} - 1 \right|^2 + \left|\frac{2n}{n+2} - 2 \right|^2 < \frac{\varepsilon^2}{4} + \frac{\varepsilon^2}{4} < \varepsilon, \quad \forall \, n \ge N \]

證畢。

(c) 常數序列 \((a,a,\cdots)\) 收斂到 \(a\)。

(d) 實數序列 \(((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}}\) 發散。

(e) 令 \(X\) 是度量空間 \((X_j, d_j), 1\le j \le m\) 的乘積。然后序列 \((x_n) = \left( (x_n^1, x_n^2, \cdots, x_n^m)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) 在度量空間 \(X\) 中收斂到點 \(a:=(a^1, \cdots, a^m)\) 當且僅當對每一個 \(j \in \{1,\cdots,m\}\)，序列 \((x_n^j)_{n \in \mathbb{N}}\) 在度量空間 \(X_j\) 中收斂到點 \(a^j \in X_j\)。

證明：由 \(2.1.2\) 可以得到，對任意 \(\varepsilon > 0\)，幾乎所有 \(x_n\) 都屬於 \(\mathbb{B}_X (a, \varepsilon) = \prod_{j=1}^m \mathbb{B}_{X_j} (a^j, \varepsilon)\)，當且僅當，對每一個 \(j=1,\cdots,m\)，幾乎所有 \(x_n^j\) 都屬於 \(\mathbb{B}_{X_j} (a^j, \varepsilon)\)。

證畢。

有界集

定義 有界集

集合 \(Y \subseteq X\) 被稱為 \(d-\)有界或是在 \(X\) 中以度量 \(d\) 有界，是說存在 \(M > 0\) 有

\[d(x,y) < M, \quad \forall x, y \in Y \]

我們可以定義 \(Y\) 的直徑

\[diam(Y) := \sup_{x,y \in Y} d(x,y) \]

顯然 \(Y\) 有界時，\(Y\) 的直徑是一個有限數。序列 \((x_n)\) 有界是指它的像 \(\{x_n\, ; \, n \in \mathbb{N}\}\) 有界。

1.9 Examples

(a) 對所有的 \(a \in X\) 和 \(r > 0\)，\(\mathbb{B} (a,r)\) 和 \(\overline{\mathbb{B}} (a,r)\) 在 \(X\) 中有界。

(b) 任一個有界集的子集是有界的，有限個有界集的並集是有界的。

(c) 度量空間 \(X\) 的子集 \(Y\) 在 \(X\) 有界當且僅當存在 \(x_0 \in X\) 和 \(r > 0\) 使得 \(Y \subseteq \mathbb{B}_X (x_0, r)\)。如果 \(Y \neq \emptyset\) 可以進一步加強命題為存在 \(x_0 \in Y\)。

(d) 有界區間是有界的。

(e) \(\mathbb{K}\) 中的子集 \(Y\) 是有界的，當且僅當，存在 \(M > 0\) 使得對所有的\(y \in Y\) 有 \(|y| < M\)。

1.10 Proposition

任一個收斂序列必定有界。

證明：假設 \(x_n \to a\)，由收斂的定義知，取 \(\varepsilon = 1\)，則存在 \(N \in \mathbb{N}\)，使得對所有的 \(n \ge N\) 有 \(x_n \in \mathbb{B}(a, 1)\)。由三角不等式可以得

\[d(x_n, x_m) \le d(x_n, a) + d(a, x_m) \le 2, \quad m, n \ge N \]

又因為存在 \(M \ge 0\) 使得

\[d(x_j, x_k) \le M, \quad j, k \le N \]

綜上可以得到對所有 \(n,m \in \mathbb{N}\) 有 \(d(x_n, x_m) \le M+2\)。

證畢。

極限的唯一性

1.11 Proposition

令 \((x_n)\) 收斂到點 \(a\)，則 \(a\) 是序列 \((x_n)\) 的唯一一個聚點。

證明：顯然 \(a\) 是序列 \((x_n)\) 的一個聚點。為了證明唯一性，假設存在 \(b \neq a\)，且 \(b\) 是 \(X\) 中的某個點

證畢。

1.12 Remark

1.11 Proposition 的逆命題是錯誤的，即是說，存在一個發散的序列，它有且僅有一個聚點。例如

\[\left( \frac{1}{2}, 2, \frac{1}{3}, 3, \cdots \right) \]

1.13 Corollary

收斂序列的極限點唯一。

作為 Proposition 1.11 的推論，我們可直接證得。

子序列

定義 子序列

令 \(\varphi = (x_n)\) 是一個在 \(X\) 中的序列，並且 \(\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) 是一個嚴格遞增函數，然后我們將 \(\varphi \circ \psi \in X^{\mathbb{N}}\) 稱為 \(\varphi\) 的子序列。根據我們之前對序列 \(\varphi\) 的介紹，我們拓展記號 \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\)，將子序列 \(\varphi \circ \psi\) 寫做 \((x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}\)，其中 \(n_k = \psi(k)\)。由於 \(\psi\) 嚴格遞增，因此我們有 \(n_0 < n_1 < n_2 < \cdots\)。

1.14 Examples

序列 \(\left( (-1)^n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) 有兩個常數子序列，分別是

\[\left( (-1)^{2k}\right)_{k \in \mathbb{N}} = (1,1,\cdots), \quad \left( (-1)^{2k+1}\right)_{k \in \mathbb{N}} = (-1, -1, \cdots) \]

1.15 Proposition

如果序列 \((x_n)\) 收斂且極限為 \(a\)，則每一個 \((x_n)\) 的子序列 \((x_{n_k})\) 也收斂，且有

\[\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = a \]

證明：

證畢。

1.16 Examples

對 \(m \ge 2\)，有

\[\frac{1}{k^m} \to 0 \, (k \to \infty) \quad \text{and} \quad \frac{1}{m^k} \to 0 \, (k \to \infty) \]

證明：

證畢。

1.17 Proposition

點 \(a\) 是序列 \((x_n)\) 的聚點當且僅當存在一個 \((x_n)\) 的子序列 \((x_{n_k})\) 收斂到點 \(a\)。

證明：

證畢。