Part III 中值定理與一元微分學應用
1. 中值定理
費馬定理
\[設f(x)在x=x_{0}處 \begin{cases} 1) & 可導 \\ 2) & 取極值 \end{cases} \Rightarrow {f}'(x_{0})=0 \]
羅爾定理
\[設f(x)滿足以下三個條件 \begin{cases} 1) & [a,b]連續 \\ 2) & (a,b)可導 \\ 3) & f(a)=f(b) \end{cases} ，則\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=0 \]
拉格朗日中值定理
\[設f(x)滿足以下兩個條件 \begin{cases} 1) & [a,b]連續 \\ 2) & (a,b)內可導 \end{cases} ，則\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
柯西中值定理
\[設f(x)，g(x)滿足 \begin{cases} 1) & [a,b]連續 \\ 2) & (a,b)內可導 \\ 3) & {g}'(x)\neq0 \end{cases} ，則\exists \xi \in (a,b)，使得 \frac{{f}'(\xi)}{{g}'(x)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]
柯西、拉格朗日、羅爾三者間的關系
柯西中值定理 → 拉格朗日中值定理 → 羅爾定理。But 拉格朗日中值定理 !→ 柯西中值定理
涉及f(x)的應用，可能需要用到的定理
有界性定理，最值定理，介值定理，零點定理
羅爾定理的應用范式
\(f(a)=f(b) \Rightarrow {f}'(\xi)=0\)
羅爾定理的關鍵，以及達成這個關鍵的兩個途徑
關鍵：\(F(a)=F(b) \Rightarrow {F}'(\xi)=0\)
兩個途徑：
- 求導公式逆用法
- 積分還原法
- 將欲證結論中的\(\xi 改為 x\)
- 積分，令c=0
- 移項，使等式一端為0，則另一端記為F(x)
2. 單調性與極值
導數的幾何應用有哪些
三點兩性一線：極值點、最值點、拐點；單調性，凹凸性；漸近線
極值的定義需要注意的地方
必須是雙側定義，否則不考慮極值
廣義極值
\(\exists x_{0}的某個鄰域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，則x_{0}為f(x)的真正極大值點\)
狹義極值（真正極值）
\(\exists x_{0}的某個【去心】鄰域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，則x_{0}為f(x)的真正極大值點\)
單調性與極值判別
- \(若{f}'(x)>0, \forall x \in I，則f(x)在I上單調遞增；若{f}'(x)<0, \forall x \in I，則f(x)在I上單調遞減；\)
-
\[ 若f(x)在x= x_{0}處連續，在U(x_{0}, \delta)內可導，則\begin{cases} 當x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})時, {f}'(x)<0，當x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)時，{f}'(x)>0，\Rightarrow 極小 \\ 當x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})時, {f}'(x)>0，當x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)時，{f}'(x)<0，\Rightarrow 極大 \\ 若{f}'(x)在(x_{0}-\delta, x_{0})與(x_{0}, x_{0}+\delta)內不變號 \Rightarrow 不是極值 \end{cases} \]
- \(若f(x)在x=x_{0}處二階可導，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})>0 \Rightarrow 極小值；若f(x)在x=x_{0}處二階可導，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})<0 \Rightarrow 極大值\)
3. 零碎問題
函數的凹凸性
\[\forall x_1, x_2 \in I, 有:\begin{cases} \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} > f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)， 是凹曲線 \\ \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} < f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)， 是凸曲線 \end{cases} \]
函數拐點
連續曲線凹凸弧的分界點
拐點判別法
設f(x)在I上二階可導
- \( \begin{cases} 若{f}''(x_0)>0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凹的 \\ 若{f}''(x_0)<0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凸的 \end{cases} \)
- \(若f(x)在x_0點的左右鄰域{f}''(x)變號 \Rightarrow (x_0,f(x_0))為拐點\)
鉛直漸近線
\(若\lim \limits_{x \to x_0^+(或x_0^-)}f(x)=\infty，則稱x=x_0為f(x)的一條鉛直漸進線\)
出現在：無定義點 || 開區間端點
水平漸近線
\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}f(x)=A，則稱y=A為f(x)的一條水平漸進線\)
斜漸近線
\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)} \frac{f(x)}{x}=a\neq0，且\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}[f(x)-ax]=b \exists,則稱y=ax+b為f(x)的一條斜漸進線\)
曲率與曲率半徑
- 曲率：\(k = \frac{|y''|}{(1+y^{'2})^{\frac{3}{2}}}\)
- 曲率半徑：\(R = \frac{1}{k} = \frac{(1+y^{'2})^{\frac{3}{2}}}{|y''|}\)
弧微分
- 直角坐標系下的弧微分公式：\(L:\ y=f(x)\)
\[ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + {\frac{dy}{dx}^2}}dx = \sqrt{1+f^{'2}(x)}dx \]
- 參數方程下的弧微分公式：$ L:\ \begin{cases}
x = \varphi(t) \
y = \varphi(t)
\end{cases}$
\[ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt = \sqrt{\varphi ^{'2}(t) = \varphi ^{'2}(t)}dt \]
函數的最值的求法
- $
對於函數f(x)，在[a,b]上找出三類點\begin{cases}
{f}'x=0 \Rightarrow x_0駐點 \
{f}'(x)!\exists \Rightarrow不可導點 \
端點a,b
\end{cases}
$
\(比較f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)大小取其最大(最小)值為最大(最小)值\) - \(若在I上求出唯一極大(極小)值點，則由實際背景確定最大(小)值\)