凹凸性
拐點
- 凸弧與凹弧的分界點
- 拐點在曲線上，寫作 (x0, f(x0))
- 極值點在定義域上，寫作 x0
判別凹凸性
二階可導點是拐點的必要條件
判別凹凸性的第一充分條件（左右鄰域二階導異號）
- x0的某去心鄰域內，二階導數存在，在該點處二階導兩側變號（由正變負，或由正變負），則點(x0, f(x0))為曲線上拐點
判別凹凸性的第二充分條件（二階導數=0，三階導數≠0）
- x0的某去心鄰域內三階可導，且f‘’(x0)=0，f'''(x0)≠0，則(x0, f(x0))為拐點
- 利用導數定義和保號性證明
判別凹凸性的第三充分條件
- f(x)在x0處n階可導，且 f(m)(x0)=0(m=2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)
- f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0
- 若n為奇數且f(n)(x0)=0，(x0, f(x0))為拐點
- 若n為奇數且f(n)(x0)>0時，f(x)在x0處取得極小值