寫在前面

昨天講到了不定積分，屬於積分學的入門，如果感到困難也沒關系。可以買習題書多練練題。總之基本積分公式是基礎。這一步走好了剩下的都不會太難。那么今天說說會了這些公式我們又該學習什么？顯然考研數學不可能只從基本公式里出題，還會涉及一些變化，那么我來講講第一點——湊微分法。也叫第一類換元積分法。

湊微分法原理

在學習湊微分法之前我們得先明白其內在原理。

湊微分法其實就是復合函數求導的逆過程，復合函數求導后會產生兩個部分

外部函數f（...）的導數（外部函數是指原函數的最外層函數）
中間變量g（x）的導數

湊微分法做的就是找出被積函數的中間變量g（x）和外部函數f（...），再把g（x）放到微分符號里面，函數部分只留下f（...）的導數,這樣湊微分法就完成了。

看不懂可以看看圖，還是看不懂也沒關系，接下來我會帶大家看看實際的題，抽象理論不好懂，但是到了題中會好很多。

幾種基本形式

1、 e^x型

這是最簡單的一種類型,在這一類型中,

e^...就代表外部函數f(...)求導后的結果（e^...求導后仍然是e^...）,

而指數就是中間變量g(x)也就是圖中紫色圈出的f（x）。

這類題型的中間變量求導后的核心部分會和除了e^...外的部分基本相同,最多系數不同要自己添加。

看幾道例題

第二題就是所謂的核心部分相同,但系數不同

第三題的意思是這種情況下如果指數部分(中間變量)求導,核心部分不一樣那么一定是題錯了.XD

2、三角函數型

這一類的外部函數的f(...)的導數是sin.../cos...,中間變量就是x表示的部分.

同樣中間變量求導和除了sin.../cos...之外的核心部分最多系數不同,之后這一點就不會再講了,我想應該也記住了.

推廣成一般形式:這里的f(x)也就是中間變量

同樣看幾道題

第一題就是中間變量求導核心變量完全相同,第二題就是核心部分原式的一半,需要在前面*2

3、1/x型

這一題型外部函數的導數是1/...，中間變量是分母部分。

同樣給幾道例題

最后一道第一次見可能比較頭疼，但可以看出它和1/...這種形式比較接近。接下來只需要找到中間變量g（x），實在看不出可以依次求導，隨后就會發現lnlnx求導后恰好等於1/xlnx，這樣g（x）就找到了。套用1/x形式得出結果即可。

4、x^u型

前面基本本分公式講到過這一公式，這屬於湊微分法中比較難的而一種類型，主要是涉及到根號會很難看出外部函數和中間變量。就如推廣的形式外部函數的導數是...^1/2中間變量是f（x）。

看看題仔細體會

這道題初見可能會覺得束手無策。解題步驟還是一樣

看到根號可以先考慮外部函數為...^1/2（別問我怎么知道用這種形式，問就是去熟悉基本積分公式！！！）

看看里面如何求導能湊成里面的形式（一個小技巧：一般求導后會更簡單）

由此我們用分子求導，發現剛好等於分母。這樣問題就解決了。

例題（千萬不要跳過啊）

又到了最重要的環節，想要深化自己學的知識。光靠理解理論是不夠的。學一樣東西要形成輸入->加工->輸出這一閉環才能真正學會，輸入的是理論，加工成自己能理解的話，而輸出就數學而言就是做題。

以下每一道題你可以先抄下來不要看答案，做完了看看那些不會！

那么開始之前：先提個習慣——做題三問，這道題考的那個公式？？？（該不會真以為有三個問題吧？知識三個問號而已XD，開個玩笑剩下兩個超哥還沒講）

上題

到這里為止不知道大家發現沒有我都是直接找出了外部函數f（....），那么中間變量自然而然的就知道了，這屬於進攻型解法如果遇到了一眼看不出外部函數的怎們辦呢？

其實之前基本形式已經告訴大家，可以試試先找g（x），找出g（x）外部函數也就知道了，這就屬於防守型解法這一方法最重要的就是把握求導后更簡單這一基本方向。（其實也不准確，三角函數求導后可能更復雜比如tanx求導等於sec²x。說成一部分可以由另一部分求導得出可能更合適，自己把握好就可以了）

在基礎階段對基本公式不太熟悉可以用這種方法。比如還是第九題

很容易發現2-3x²求導后和分子有關，這樣就繞過了看出外部函數這一步驟，知道了g（x）外部函數的導數就自己體現出來了。

再舉個栗子

法1就是直接找出外部函數的導數，g（x）也就知道了

法2通過求導找到了g（x），寫成標准形式后外部函數的導數就體現出來了