一元函數積分學

目錄

• 不定積分
  • 原函數與不定積分的概念
    • 原函數的定義
      • 原函數存在定理
    • 不定積分的定義
  • 基本積分表
  • 不定積分的性質
    • 不定積分與微分和導數之間的關系
  • 求不定積分的方法
    • 換元積分法
      • 第一類換元法(湊微分法)
      • 第二類換元法
    • 分部積分法
    • 積分表補充
    • 超越積分(不可積積分)
    • 有理函數的積分
      • 三角有理式積分
      • 含有根式的有理式積分
• 定積分
  • 定積分的定義
    • 定積分可積的充分條件
  • 定積分的性質
    • 積分中值定理
  • 積分上限函數及其導數
  • 微積分基本公式(牛頓-萊布尼茨公式)
  • 定積分的換元積分法和分步積分法
    • 定積分的換元法
    • 定積分的分部法
    • 常用結論
  • 反常積分
    • 無窮區間上的反常積分
    • 無界函數的反常積分
• 定積分的應用

不定積分

原函數與不定積分的概念

原函數的定義

如果在區間 \(I\) 上,可導函數 \(F(x)\) 的導函數為 \(f(x)\) ,即對任一 \(x\in I\) 都有

\[F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, \]

那么函數 \(F(x)\) 就稱為 \(f(x)\) (或 \(f(x)dx\) )在區間 \(I\) 上的一個原函數.

原函數存在定理

如果函數 \(f(x)\) 在區間 \(I\) 上連續,那么區間 \(I\) 上存在可導函數 \(F(x)\) 使對任一 \(x\in I\) 都有

\[F'(x)=f(x) \]

即:連續函數一定有原函數.

不定積分的定義

在區間上,函數 \(f(x)\) 的帶有任意常數項的原函數稱為 \(f(x)\) (或 \(f(x)dx\) )在區間 \(I\) 上的不定積分,記作:

\[\int f(x)dx. \]

其中記號 \(\int\) 稱為積分號, \(f(x)\) 稱為被積函數, \(f(x)dx\) 稱為被積表達式, \(x\) 稱為積分變量.

基本積分表

• \(\int k d x=d x+C(k是常數)\)
• \(\int x^{k} d x=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C(k \neq-1)\)
• \(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C(x \neq 0)\)
• \(\int \sin x d x=-\cos x+C\)
• \(\int \cos x d x=\sin x+C\)
• \(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)
• \(\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\)
• \(\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan x+C或\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=-\operatorname{arccot} x+C\)
• \(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\arcsin x+C 或 \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=-\arccos x+C\)
• \(\int \sec ^{2} x d x=\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\)
• \(\int \csc ^{2} x d x=\int \frac{1}{\sin ^{2}} d x=-\cot x+C\)
• \(\int \sec x \tan x d x=\sec x+C\)
• \(\int \csc x \cot x d x=-\csc x+C\)

不定積分的性質

設函數 \(f(x)\) 及 \(g(x)\) 的原函數存在,則

\[\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx,\\ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k為非零常數) \]

不定積分與微分和導數之間的關系

• \((\int f(x)dx)'=f(x)\)
• \(d \int f(x)dx=f(x)dx\)
• \(\int f'(x)dx=f(x)+C\)
• \(\int df(x)=f(x)+C\)

求不定積分的方法

換元積分法

第一類換元法(湊微分法)

設 \(f(u)\) 具有原函數, \(u=\varphi(x)\) 可導,則有換元公式

\[\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=[\int f(u)du]_{u=\varphi(x)} \]

第二類換元法

設 \(x=\psi(t)\) 是單調的可導函數,並且 \(\psi'(t)\neq0\) .又設 \(f[\psi(t)]\psi'(t)\) 具有原函數,則有換元公式.

\[\int f(x)dx=[\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)} \]

分部積分法

設函數 \(u=u(x)\) 及 \(v=v(x)\) 具有連續導數,則有:

\[\int uv'dx=uv-\int u'vdx \]

可以簡化為

\[\int udv=uv-\int vdu \]

積分表補充

通過上面兩種求不定積分的方法,我們可以擴展積分表添加一些常用的積分:

• \(\int \tan xdx=-\ln| \cos x | + C,\)
• \(\int \cot xdx=\ln| \sin x | + C,\)
• \(\int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C,\)
• \(\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C,\)
• \(\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arcsin \frac{x}{a}+C,\)
• \(\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C,\)
• \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C,\)
• \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C,\)
• \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C.\)

超越積分(不可積積分)

上述積分方法所求積分都有一個特點,即:所求不定積分都是初等函數.
實際上,我們只能求出原函數可以表示成初等函數的函數的不定積分,如果一個函數的原函數不可以用初等函數表示,那么我們稱其的不定積分為超越積分,即不可積積分,常見的超越積分有:

• \(\int e^{a x^{2}} d x(a \neq 0)\)
• \(\int \frac{\sin x}{x} d x\)
• \(\int \frac{\cos x}{x} d x\)
• \(\int \sin \left(x^{2}\right) d x\)
• \(\cos \left(x^{2}\right) d x\)
• \(\int \frac{x^{n}}{\ln x} d x(n \neq 1)\)
• \(\int \frac{\ln x}{x+a} d x(a \neq 0)\)
• \(\int(\sin x)^{z} d x \quad(z\) 不是整數)
• \(\int d x / \sqrt{x^{4}+a}(a \neq 0)\)
• \(\int \sqrt{1+k(\sin x)^{2}} d x(k \neq 0, k \neq-1)\)
• \(\int d x / \sqrt{1+k(\sin x)^{2}}(k \neq 0, k \neq-1)\)

附閱:幾個常見的超越積分(不可積積分)

有理函數的積分

有理函數的積分必定可以被求出

兩個多項式的商 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 稱為有理函數,又稱有理分式.我們總假定分子多項式 \(P(x)\) 與分母多項式 \(Q(x)\) 之間沒有公因式.當分子多項式 \(P(x)\) 的次數小於分母多項式 \(Q(x)\) 的次數時,稱這有理函數為真分式,否則稱為假分式.
利用多項式的除法,總可以將一個假分式化成一個多項式與一個真分式之和的形式.
對於真分式 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) ,如果分母可分解為兩個多項式的乘積

\[Q(x)=Q_1(x)Q_2(x), \]

且 \(Q_1(x)\) 與 \(Q_2(x)\) 沒有公因式,那么它可以拆分成兩個真分式之和

\[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}, \]

如果 \(Q_1(x)\) 或 \(Q_2(x)\) 還能再分解成兩個沒有公因式的多項式的乘積,那么就可再拆分成更簡單的部分分式.最后,有力函數的分解式中只出現多項式,\(\frac{P_1(x)}{(x-1)^k}\),\(\frac{P_2(x)}{(x^2+px+q)^l}\) 等三類函數(這里 \(p^2-4q<0\),\(P_1(x)\) 為小於 \(k\) 次的多項式,\(P_2(x)\) 為小於 \(2l\) 次的多項式 ).多項式的積分容易求得,后兩類真分式的積分可以使用換元積分法和分部積分法求出.

附閱:有理函數不定積分計算法則——留數定理法

三角有理式積分

三角有理式是指三角函數通過有理運算得到的函數
三角有理式的積分也可以被求出

根據三角函數公式可以知道,\(\sin x\) 與 \(\cos x\) 都可以通過萬能公式用 \(\tan \frac{x}{2}\) 表示,在此基礎上使用第二類換元積分法可以求出三角有理式的積分.
當然,一般的三角有理式也可以通過三角變形,換元或者分部的方法直接求出.

含有根式的有理式積分

如果一個函數是通過 \(x\) 與 \(\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\) 進行有理運算后得到的函數,處理這類函數我們可以將根式換元,消去根式,從而求出結果.

定積分

定積分的定義

設函數 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界,在 \([a,b]\) 中任意插入若干個分點

\[a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b, \]

把區間 \([a,b]\) 分成 \(n\) 個小區間

\[[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n], \]

各個小區間的長度依次為

\[\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,...,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}. \]

在每個小區間 \([x_{i-1},x+i]\) 上任取一點 \(\xi_i(x_{i-1}\leq \xi_i\leq x_i)\),作函數值 \(f(\xi_i)\) 與小區間長度 \(\Delta x_i\) 的乘積 \(f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,...,n)\),並作出和

\[S=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i. \]

記 \(\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n\}\) ,如果當 \(\lambda\to 0\) 時,這和的極限總存在,且與閉區間 \([a,b]\) 的分法和取法無關,那么稱這個極限 \(I\) 為函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上的定積分(簡稱積分),記作 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\),即

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=I=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i, \]

其中 \(f(x)\) 叫做被積函數,\(f(x)dx\) 被叫做被積表達式, \(x\) 叫做積分變量, \(a\) 叫做積分下限,\(b\) 叫做積分上限, \([a,b]\) 叫做積分區間.

• 函數的定積分是一個常數
• 函數的定積分只與函數的對應規則和積分的上下限有關,與自變量的符號無關.

為了計算和應用的方便起見,對定積分作以下兩點補充規定:

1. 當 \(b=a\) 時, \(\int_{a}^{b}f(x)dx=0\);
2. 當 \(a>b\) 時, \(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)
   由上式可知,交換定積分的上下限時,定積分的絕對值不變而符號相反.

定積分可積的充分條件

• 定理一: 設 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上連續,則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可積.
• 定理二: 設 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上有界,且只有有限個間斷點,則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可積.
• 補充: 設 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上只有有限個第一類間斷點,則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可積.

定積分的性質

• 性質一: 設 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 均為常數,則

\[ \int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int_{a}^{b}g(x)dx. \]

該性質對於任意有限個函數的線性組合也是成立的.

• 性質二:

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx \]

• 性質三: 如果在區間 \([a,b]\) 上 \(f(x)≡1\) ,那么

\[\int_{a}^{b}1dx=\int_{a}^{b}dx=b-a \]

• 性質四: 如果在區間 \([a,b]\) 上 \(f(x)\geq 0\) ,那么

\[\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0(a<b) \]

• 性質四的推論一: 如果在區間 \([a,b]\) 上 \(f(x)\leq g(x)\) ,那么
  \[ \int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx(a<b). \]

• 性質四的推論二: 設 \(M\) 及 \(m\) 分別是函數 \(f(x)\)在區間 \([a,b]\)上的最大值及最小值,則
  \[m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)(其中a<b) \]

積分中值定理

如果函數 \(f(x)\) 在積分區間 \([a,b]\) 上連續,那么在 \([a,b]\) 上至少存在一個點 \(\xi\) ,使下式成立:

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)(其中a\leq\xi\leq b). \]

這個公式叫做積分中值公式.
其中:

\[f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx \]

稱為函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上的平均值.

積分上限函數及其導數

如果函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上連續,那么積分上限的函數:

\[\varPhi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt \]

在 \([a,b]\) 上可導,並且它的導數

\[\varPhi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)(其中a \leq x \leq b). \]

即: \(\varPhi(x)\) 是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的一個原函數.

微積分基本公式(牛頓-萊布尼茨公式)

如果函數 \(F(x)\) 是連續函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上的一個原函數,那么

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) \]

牛頓-萊布尼茨公式是微積分中最重要的公式,他溝通了積分學和微分學

\[\underbrace{\underbrace{\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)}_{積分中值定理}=\underbrace{F'(\xi)(b-a)=F(b)-F(a)}_{微分中值定理}}_{牛頓-萊布尼茨公式} \]

定積分的換元積分法和分步積分法

定積分的換元法

假設函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上連續,函數 \(x=\varphi(t)\) 滿足條件:

1. \(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\);
2. \(\varphi(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\) (或 \([\beta,\alpha]\) )上具有連續導數,且其值域 \(R_{\varphi}=[a,b]\) ,則有:

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt \]

再次說明:定積分的結果是一個值,與自變量的符號沒有任何關系,所以這里並不需要將 \(t\) 換回 \(x\) ,直接求出對 \(t\) 的定積分即可.

定積分的分部法

假設函數 \(u(x)\) 與 \(v(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上具有連續導數,根據不定積分的分部積分法有:

\[\int_a^buv'dx=[uv]_a^b-\int_a^bvu'dx, \]

或

\[\int_a^budv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu \]

常用結論

• 若 \(f(x)\) 在 \([-a,a]\) 上連續,有:

\[\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a[f(-x)+f(x)]dx \]

如果 \(f(x)\) 是偶函數,則

\[\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx \]

如果 \(f(x)\) 是奇函數,則

\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=0 \]

• 設 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上連續,則

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx\\ \int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx \]

• 設 \(f(x)\) 是連續的周期函數,周期為 \(T\) ,則

\[\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx\\ \int_a^{a+nT}f(x)dx=n\int_0^Tf(x)dx(n\in \N). \]

• 華里士公式(點火公式)

\[\begin{aligned} I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x\\ &=\begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, n \text { 為正偶數 } \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}, n \text { 為大於 } 1 \text { 的正奇數. } \end{cases} \end{aligned} \]

或者可以寫為:

\[I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2} \]

反常積分

無窮區間上的反常積分

• 設 \(f(x)\) 為 \([a,+\infty)\) 上的連續函數,如果極限 \(\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)dx\) 存在,則稱此極限為函數 \(f(x)\) 在無窮區間 \([a,+\infty)\) 上的反常積分,記作 \(\int_a^{+\infty}f(x)dx\) ,即:

\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)dx. \]

這時也稱反常積分 \(\int_a^{+\infty}f(x)dx\) 收斂,如果上述極限不存在,則稱反常積分 \(\int_a^{+\infty}f(x)dx\) 發散.

• 設 \(f(x)\) 為 \((-\infty,b]\) 上的連續函數,則可類似的定義函數 \(f(x)\) 在無窮區間 \((-\infty,b]\) 上的反常積分

\[\int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to-\infty}\int_t^bf(x)dx. \]

• 設 \(f(x)\) 為 \((-\infty,+\infty)\) 上的連續函數,如果反常積分

\[\int_{-\infty}^0f(x)dx及\int_0^{+\infty}f(x)dx \]

都收斂,則稱反常積分 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\) 收斂,且

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx. \]

如果 \(\int_{-\infty}^0f(x)dx及\int_0^{+\infty}f(x)dx\) 至少有一個發散,則稱 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\) 發散.

常用結論:

\[\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\begin{cases} p>1 ,&\text{收斂 }\\ p\leq 1, &\text{發散 } \end{cases},(a>0) \]

無界函數的反常積分

如果函數 \(f(x)\) 在點 \(a\) 的任一鄰域內都無界,那么點 \(a\) 稱為函數 \(f(x)\) 的瑕點(也稱為無界點).無界函數的反常積分也稱為瑕積分.

• 設函數 \(f(x)\) 在 \((a,b]\) 上連續,點 \(a\) 為函數 \(f(x)\) 的瑕點.如果極限

\[\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx \]

存在,則稱此極限為函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上的反常積分,記作 \(\int_a^bf(x)dx\) ,即

\[\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx \]

這時也稱反常積分 \(\int_a^bf(x)dx\) 收斂.如果上述極限不存在,則稱反常積分 \(\int_a^bf(x)dx\) 發散.

• 設函數 \(f(x)\) 在 \([a,b)\) 上連續,點 \(b\) 為函數 \(f(x)\) 的瑕點.則可類似的定義函數 \(f(x)\) 在區間 \([a,b]\) 上的反常積分

\[\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to b^-}\int_a^tf(x)dx \]

• 設函數 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上除點 \(c(a<c<b)\) 外連續,點 \(c\) 為函數 \(f(x)\) 的瑕點.如果反常積分

\[\int_a^cf(x)dx及\int_c^bf(x)dx \]

都收斂,則稱反常積分 \(\int_a^bf(x)dx\) 收斂,且

\[\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx \]

如果 \(\int_a^cf(x)dx\) 與 \(\int_c^bf(x)dx\) 至少有一個發散,則稱 \(\int_a^bf(x)dx\) 發散.

常用結論:

\[\int_a^b\frac{1}{(x-a)^p}dx\begin{cases} p<1 ,&\text{收斂 }\\ p\geq 1, &\text{發散 } \end{cases}\\ \int_a^b\frac{1}{(b-x)^p}dx\begin{cases} p<1 ,&\text{收斂 }\\ p\geq 1, &\text{發散 } \end{cases} \]

定積分的應用