1 重積分
二重積分
- 定義：\(\displaystyle \iint_D f(x, y)d\sigma = \lim_{d \to 0} \sum_{k = 1}^n f(\xi_k , \eta_k) \Delta \sigma_k\)，其中\(d\)為小區域直徑的最大值，\(\Delta \sigma_k\)為小區域的面積。
- 幾何意義：為以\(D\)為底，\(z = f(x, y)\)為頂的曲面圓柱的體積。
- 性質：
- 比較定理：若在\(D\)上，\(f(x, y) \le g(x, y)\)，則\(\displaystyle \iint_D f(x, y) d\sigma \le \iint_D g(x, y) d\sigma\)
- 估值定理：\(M, m\)是連續函數\(f(x, y)\)在閉區域\(D\)上的最值，\(S\)為\(D\)的面積，則\(\displaystyle mS \le \iint_Df(x, y) d\sigma \le MS\)
- 中值定理：\(D\)上至少存在一點\((\xi, \eta)\)，使\(\displaystyle \iint_Df(x, y) d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot S\)
- 計算
- 直角坐標系：\(\displaystyle \iint_D f(x, y) d\sigma = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) dy = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y) dx\)
- 極坐標系：\(\displaystyle \iint_D f(x, y) d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d\rho\)
- 使用被積函數的奇偶性和對稱性可以化簡運算。
- 若積分域\(D\)關於\(y = x\)對稱，則\(\displaystyle \iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_D f(y, x) d\sigma\)。（輪換對稱性）
三重積分
-
定義：設\(\mu = f(x, y, z)\)為空間體\(\Omega\)的體密度，積分\(\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) dV\)為空間體的質量。
-
性質與二重積分完全類似。
-
計算：
-
直角坐標系：$\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \iint_D dxdy \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z)dz = \int_a^b dz \iint_{D_z} f(x, y, z) dxdy $
-
柱坐標系：柱坐標系與直角坐標系的換算\(\begin{cases} x = r \cos \theta & 0 \le r \lt +\infty, 0 \le \theta \le 2\pi \\ y = r \sin \theta \\ z = z & -\infty \lt z \lt +\infty \\ \end{cases}, \quad dV = r dr d\theta dz\)
\[\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) dV = \iiint_\Omega f(r \cos \theta, r \sin \theta, z)r dr d\theta dz \]一般滿足\(f(x, y, z) = \varphi (z) g(x^2 + y^2)\)的被積函數可以轉化成上述計算。
-
球坐標系：球坐標系與直角坐標系的換算\(\begin{cases} x = r \sin \varphi \cos \theta \\ y = r \sin \varphi \sin \theta \\ z = r \cos \varphi \\ \end{cases} and \begin{cases} 0 \le r \lt +\infty \\ 0 \le \varphi \le \pi \\ 0 \le \theta \le 2\pi \\ \end{cases},\quad dV = r^2 \sin \varphi dr d\varphi d\theta\)
\[\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) = \iiint_\Omega f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^2 \sin \varphi dr d\varphi d\theta \]一般滿足\(f(x, y, z) = \varphi(x^2 + y^2 + z^2)\)的被積函數可以轉化成上述計算。
-
使用被積函數的奇偶性和對稱性可以化簡運算。
-
2 曲線積分
第一類線積分-對弧長的線積分
- 定義：\(\displaystyle \int_L f(x, y)ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i\)，其中\(\lambda\)為小弧段的最大長度，\((\xi_i, \eta_i)\)為小弧段上的一點。此積分表示弧形的質量。
- 與積分的路徑無關，\(\displaystyle \int_{L(\stackrel{ \Large \frown }{ AB })} f(x, y)ds = \int_{L(\stackrel{ \Large \frown }{ BA })} f(x, y)ds\)。
- 計算
- 曲線\(L: \begin{cases} x = x(t) \\ y= y(t) \\ \end{cases}\)，若\(f(x, y)\)在\(L\)上有定義，\(x(t), y(t)\)在\([\alpha, \beta]\)上有連續的一階導數且\(x'^2(t) + y'^2(t) \neq 0\)，則曲線積分存在，\(\displaystyle \int_L f(x, y)ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t)) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt \quad (\alpha \lt \beta)\)。
- 將上述結論推廣到直角坐標系，曲線為\(y = y(x)\)，則\(\displaystyle \int_L f(x, y)ds = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + y'^2(x)}dx \quad (a \lt b)\)。
- 將上述結論推廣到極坐標系，曲線為\(\rho = \rho(\theta)\)，則\(\displaystyle \int_L f(x, y)ds = \int_\alpha^\beta f(\rho(\theta) \cos \theta, \rho(\theta) \sin \theta) \sqrt{\rho^2 + \rho'^2}d\theta\)。
- 利用積分曲線的對稱性和被積函數的奇偶性、變量的對稱性進行簡化。
第二類線積分-對坐標的線積分
-
定義：
\(\displaystyle \int_L P(x, y)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n P(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i\)
\(\displaystyle \int_L Q(x, y)dy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n Q(\xi_i, \eta_i) \Delta y_i\)
其中\(\lambda\)為小弧段的最大長度，\((\xi_i, \eta_i)\)為小弧段上的一點。
-
與積分路徑有關，\(\displaystyle \int_{L(\stackrel{ \Large \frown }{ AB })} Pdx+ Qdy = -\int_{L(\stackrel{ \Large \frown }{ BA })} Pdx + Qdy\)
-
計算
-
曲線\(L: \begin{cases} x = x(t) \\ y= y(t) \\ \end{cases}\)，若\(P(x, y), Q(x, y)\)在有向\(L\)上有定義且連續，\(x(t), y(t)\)在\([\alpha, \beta]\)上有連續的一階導數且\(x'^2(t) + y'^2(t) \neq 0\)，則曲線積分存在，\(\displaystyle \int_L P(x, y)dx + Q(x, y)dy = \int_\alpha^\beta [P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)] dt \quad (\alpha \lt \beta)\)。
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格林公式：設由光滑曲線\(L\)圍成的閉區域\(D\)，函數\(P(x, y), Q(x, y)\)在\(D\)上有連續的一階偏導數，曲線\(L\)為區域\(D\)的取正向的邊界曲線，則\(\displaystyle \iint_D (\cfrac {\partial Q}{\partial x} - \cfrac {\partial P}{\partial y})dxdy = \oint_L Pdx + Qdy\)。
邊界曲線取正向：當面向正向時區域總在自己的左手側，一般外側的邊界時逆時針，內側的邊界時順時針。
單連通區域是內部沒有洞的區域，復連通區域時內部有洞的區域。復連通區域上使用格林公式時用外側的曲線積分減去內側的曲線積分即可。
-
對於不封閉的曲線，可以將其補全使用格林公式，再減去補線的部分。
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平面上曲線積分與路徑無關的條件：設函數\(P(x, y), Q(x, y)\)在單連通區域\(G\)內有連續的一階偏導數，則曲線積分\(\displaystyle \int_L Pdx + Qdy\) 與路徑無關\(\iff \cfrac {\partial P}{\partial y} = \cfrac {\partial Q}{\partial x}\) 在\(G\)內恆成立\(\iff L\)為\(G\)中任一分段光滑閉曲線\(\iff\) 存在函數\(u(x, y)\)其全微分\(du = Pdx + Qdy\)。
(1)可以改換路徑
(2)找到原函數\(u(x, y)\)，使得\(\displaystyle \int_{(A)}^{(B)} Pdx + Qdy = u(x_2, y_2) - u(x_1, y_1)\)
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斯托克斯公式\(\displaystyle \oint_\Gamma Pdx + Qdy + Rdz = \iint_\Sigma (\cfrac {\partial R}{\partial y} - \cfrac {\partial Q}{\partial z})dydz + \iint_\Sigma (\cfrac {\partial P}{\partial z} - \cfrac {\partial R}{\partial x})dzdx + \iint_\Sigma (\cfrac {\partial Q}{\partial x} - \cfrac {\partial P}{\partial y})dxdy\)
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兩類曲線積分的關系
\(\displaystyle \int_L Pdx + Qdy = \int_L (P \cos \alpha + Q \sin \beta)ds\)，其中，\(\cos \alpha, \cos \beta\)為曲線\(L\)的切線的方向余弦。
補充：曲線積分基本定理
設\(\boldsymbol F(x, y) = P(x, y) \boldsymbol i + Q(x, y) \boldsymbol j\)是平面區域\(G\)內的一個向量場，若\(P(x, y), Q(x, y)\)都在\(G\)內連續，且存在一個數量函數\(f(x, y)\)，使得\(\boldsymbol F = \nabla f\)，則曲線積分$\displaystyle \int_L \boldsymbol F \cdot d \boldsymbol r \(在\)G\(內與路徑無關，且\)\displaystyle \int_L \boldsymbol F \cdot d \boldsymbol r = f(B) - f(A)\(。其中\)L\(時位於\)G\(內起點為\)A\(終點為\)B$的任一分段光滑曲線。
3 曲面積分
第一類曲面積分-對面積的曲面積分
- 定義：\(\displaystyle \iint_\Sigma f(x, y, z)dS = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i\)，其中\(\lambda\)為小塊曲面的直徑的最大值，\(S\)為小塊曲面的面積，\((\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)為小塊曲面的一點。此積分表示面密度的積分。
- 與所選則的曲面的哪一側無關。
- 計算：
- 設曲面是由\(z = z(x, y)\)描述的，則\(\displaystyle \iint_\Sigma f(x, y, z)dS = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + {z'_x}^2 + {z'_y}^2} dxdy\)
- 利用積分曲面的對稱性和被積函數的奇偶性、變量的對稱性進行簡化。
第二類曲面積分-對坐標的曲面積分
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定義：
\(\displaystyle \iint_\Sigma P(x, y, z)dydz = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n P(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta S_i)_{yz}\)
\(\displaystyle \iint_\Sigma Q(x, y, z)dzdx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n Q(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta S_i)_{zx}\)
\(\displaystyle \iint_\Sigma R(x, y, z)dxdy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}\)
其中\(\lambda\)為小塊曲面的直徑的最大值，\(S\)為小塊曲面的面積，\((\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)為小塊曲面的一點。
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有曲面的方向有關，相反側的積分取反。
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計算：
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曲面由\(x = x(y, z)\)描述，\(\displaystyle \iint_\Sigma P(x, y ,z) dydz = \pm \iint_D P(x(y, z), y, z) dydz\)。若有向曲面\(\Sigma\)的法向量與\(x\)軸正向的夾角為銳角，即右側，上式取正，否則取負。
曲面由\(y = y(z, x)\)描述，\(\displaystyle \iint_\Sigma Q(x, y ,z) dzdx = \pm \iint_D Q(x, y(z, x), z) dzdx\)。若有向曲面\(\Sigma\)的法向量與$$軸正 y 向的夾角為銳角，即右側，上式取正，否則取負。
曲面由\(z = z(x, y)\)描述，\(\displaystyle \iint_\Sigma (Rx, y ,z) dxdy = \pm \iint_D R(x, y, z(x, y)) dxdy\)。若有向曲面\(\Sigma\)的法向量與\(z\)軸正向的夾角為銳角，即右側，上式取正，否則取負。
-
高斯公式：設由分片光滑的閉曲面\(\Sigma\)所圍成的空間閉區域\(\Omega\)，函數\(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)\)在\(\Omega\)上有連續的一階偏導數，\(\Sigma\)為\(\Omega\)的整個邊界曲面的外側，則\(\displaystyle \iiint_\Omega (\cfrac {\partial P}{\partial x} + \cfrac {\partial Q}{\partial y} + \cfrac {\partial R}{\partial z}) dv = \oint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy\)
-
對於空間區域不封閉，則可以用一塊曲面使原來的空間區域封閉，積分時再減去這塊補面上的積分即可。
-
曲面積分\(\displaystyle \iint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy\)與曲面\(\Sigma\)無關而只取決於它的邊界曲線\(\iff \cfrac {\partial P}{\partial x} + \cfrac {\partial Q}{\partial y} + \cfrac {\partial R}{\partial z} = 0\)在二維單連通區域\(G\)內恆成立。
-
兩類曲面積分的關系
\(\displaystyle \iint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_\Sigma (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) dS\)，其中，\(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\)為曲面\(\Sigma\)在點\((x, y, z)\)處的法向量的方向余弦。
4 多元積分的應用
幾何度量
- 平面面積：\(\displaystyle S = \iint_D dxdy\)
- 空間體體積：\(\displaystyle V = \iiint_\Omega dv\)
- 曲線長度：\(\displaystyle L = \int_C ds\)
- 曲面面積：\(\displaystyle S = \iint_\Sigma dS\)
質量
- 平面質量：\(\displaystyle m = \iint_D \rho(x, y)dxdy\)
- 空間體質量：\(\displaystyle m = \iiint_\Omega \rho(x, y ,z) dv\)
- 曲線質量：\(\displaystyle m = \int_C \rho(x, y,z)ds\)
- 曲面質量：\(\displaystyle m = \iint_\Sigma \rho(x, y, z)dS\)
質心
\(\displaystyle \overline x = \cfrac {\int x\rho}{\int \rho}, \displaystyle \overline y = \cfrac {\int y\rho}{\int \rho}\)，積分與上面的質量積分的公式相似
轉動慣量
\(\displaystyle I_x = \int x^2 \rho, I_y = \int y^2 \rho\)，積分與上面質量積分的公式相似。
5 場論
梯度
- 沿方向\(l\)的方向導數：\(\displaystyle \left. \cfrac {\partial f}{\partial l} \right|_{(x_0, y_0)} = \lim_{t \to 0^+} \cfrac {f(x_0 + t \cos \alpha, y_0 + t \cos \beta) - f(x_0, y_0)}t\)。若函數\(f(x, y)\)在點\(P_0(x_0, y_0)\)處可微，那么函數在該點沿任意方向\(l\)的方向導數存在，且\(\displaystyle \left. \cfrac {\partial f}{\partial l} \right|_{(x_0, y_0)} = f_x'(x_0, y_0) \cos \alpha + f_y'(x_0, y_0) \cos \beta\)。\(\cos \alpha , \cos \beta\)是方向余弦。上公式可以類推到三元函數。
- 梯度定義：向量\(\boldsymbol{A}(x, y)\)指向的方向是\(u(x, y)\)在點\(P\)處的方向導數取最大值的方向，它的模\(|\boldsymbol{A}(x, y)|\)是此方向導數的最大值，則稱\(\boldsymbol{A}(x, y)\)為函數\(u(x, y)\)在點\(P\)處的梯度，記作：\(\boldsymbol{grad} \left. u \right|_P = \boldsymbol{A}(x, y)\)或者\(\nabla \left. u \right|_p = \boldsymbol A(x, y)\)（Nabla 算子）。
- \(\boldsymbol{grad}u(x, y) = \cfrac {\partial u}{\partial x} \boldsymbol{i} + \cfrac {\partial u}{\partial y} \boldsymbol{j}, \quad \boldsymbol{grad}u(x, y, z) = \cfrac {\partial u}{\partial x} \boldsymbol{i} + \cfrac {\partial u}{\partial y} \boldsymbol{j} + \cfrac {\partial u}{\partial z} \boldsymbol{k}\)
- \(\boldsymbol{grad} \left. u \right|_P \cdot \boldsymbol{e}_l = \left. \cfrac {\partial u}{\partial l} \right|_P\)
通量
向量場\(\boldsymbol u(x, y, z) = P \boldsymbol i + Q \boldsymbol j + R \boldsymbol k\)，\(\Sigma\)為有向曲面，則向量場穿過曲面的指定側的通量為\(\displaystyle \Phi = \iint_\Sigma \boldsymbol A \cdot d \boldsymbol S = \iint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy\)
散度
向量場\(\boldsymbol u(x, y, z) = P \boldsymbol i + Q \boldsymbol j + R \boldsymbol k\)，其中\(P, Q, R\)均有連續的一階偏導數，則\(\boldsymbol u\)在點\((x, y, z)\)處的散度為\(\mathrm{div} \boldsymbol u = \cfrac {\partial P}{\partial x} + \cfrac {\partial Q}{\partial y} + \cfrac {\partial R}{\partial z}\)
旋度
向量場\(\boldsymbol u(x, y, z) = P \boldsymbol i + Q \boldsymbol j + R \boldsymbol k\)，其中\(P, Q, R\)均有連續的一階偏導數，則\(\boldsymbol u\)在點\((x, y, z)\)處的旋度為\(\boldsymbol{\mathrm{rot}} \boldsymbol u = \left| \begin{matrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ \cfrac {\partial}{\partial x} & \cfrac {\partial }{\partial y} & \cfrac {\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{matrix} \right|\)