1 函數
概念：定義域、值域、映射（函數是\(R\)下的映射）、鄰域、去心鄰域、分段函數、隱函數、反函數。
函數的基本特性：有界性、單調性、周期性、奇偶性、
基本初等函數：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。
取整函數 \(y = [x], \text{the max integer not more than }x\)
狄利克雷函數 \(D(x) = \begin{cases} 1&x\text{ is a rational number}\\0&x\text{ is a irrational number} \end{cases}\)
有界性
- \(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界。
- \(f(x)\)在\((a,b)\)上連續，且\(\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)\)和\(\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)\)都存在，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界。
- 有界函數和有界函數的和、積均為有界函數。
奇偶性質
- 奇函數與奇函數復合為奇函數
- 奇函數與偶函數復合為偶函數
- 偶函數與偶函數復合為偶函數
- \(f(x) = \frac12 [f(x) - f(-x)] + \frac12 [f(x) + f(-x)]\) （可以看作一個奇函數和一個偶函數的和）
2 極限
概念：無窮小、高階無窮小（更小）、同階無窮小、等價無窮小、無窮大、單側極限
定義
- 數列的極限\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = a\): \(\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \gt 0, \text{while} \ n \gt N, |x_n - a| \lt \varepsilon\).
- 函數的極限\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A\): \(\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, \text{while} \ 0 \lt |x - x_0| \lt \delta, |f(x) - A| \lt \varepsilon\).
性質
- 極限存在必唯一
- \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = a \iff \lim_{n \to \infty} x_{2n} = \lim_{n \to \infty} x_{2n-1} = a\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A\)
- 若\(\displaystyle \lim_{x \to \bullet} f(x) = A (\exists)\)，則\(f(x)\)在\(x \to \bullet\)過程中處處有定義。只要有一個點是無定義點，此極限就不存在。
- \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff f(x) - A = a(x), \lim_{x \to x_0} a(x) = 0\)
- 假設\(f(x)\)單調減少（增加）且有下界（上界），則\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)\)必存在。
- 局部保號性：假設\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A \neq 0\)，則存在\(x_0\)的一個去心鄰域，在此鄰域內\(f(x)\)與\(A\)同號。
- 局部有界性：假設\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，則存在\(M \gt 0\)，當\(x \to x_0\)時，\(|f(x)| = M\).
計算
- 思路：優先提取能夠計算出來的因子；對分式化成倒三角形；三角代換和倒代換
- 四則運算法則：同趨向下，可加減乘除、數乘。
- 有界函數與無窮小的乘積是無窮小。有限個無窮小的和、積均是無窮小。
- 幾個重要的極限
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac 1x} = e\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^\delta (\ln x)^k = 0, \ \delta \gt 0\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^k e^{-\delta x} = 0, \ \delta \gt 0\)
- \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = 1, \ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]a = 1, \ a \gt 0\)
- 利用等價無窮小進行替換乘除因子。以下常用的等價無窮小（\(x \to 0\)）
- \(\sin x \sim \arcsin x \sim x\) （注意 \(\sin x \lt x \lt \tan x\) ）
- \(\tan x \sim \arctan x \sim x\)
- \(1 - \cos x \sim \frac 12 x^2\)
- \(x - \sin x \sim \frac 16 x^3\)
- \((1 + x)^{ax} -1 \sim ax\)
- \(e^x - 1 \sim x, \ a^x - 1 \sim x \ln a\)
- \(\ln (1 + x) \sim x \rightarrow \ln U \sim U - 1(U \to 1)\)
- 洛必達法則，只有在計算后的極限存在才可用。
- 泰勒公式。
- \(\sin x = x - \frac 16 x^3 + \omicron (x^3)\)
- \(\arcsin x = x + \frac 16 x^3 + \omicron (x^3)\)
- \(\tan x = x + \frac 13 x^3 +\omicron (x^3)\)
- \(\arctan x = x - \frac 13 x^3 +\omicron (x^3)\)
- \(\cos x = 1 - \frac 12 x^2 + \frac 1{24} x^4 + \omicron (x^4)\)
- \((1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}2 x^2 + \omicron (x^2)\)
- \(e^x = 1 + x + \frac 12 x^2 + \frac 16 x^3 + \omicron (x^3)\)
- \(\ln (1 + x) = x - \frac 12 x^2 + \frac 13 x^3 + \omicron (x^3)\)
- 歸結原則：\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \implies\lim_{n \to +\infty} f(n) = A\)
- 夾逼准則，除了下述的兩條，還需靈活運用。
- 有限個項：\(1 \cdot U_{max} \le U_1 + U_2 + \cdots + U_n \le n\cdot U_{max}\)
- 無限個項：\(n \cdot U_{min} \le U_1 + U_2 + \cdots + U_n \le n\cdot U_{max}\)
- \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{i=1}^n f(\frac in) = \int_0^1f(x)dx\) （\(\frac in\)換成了\(x\)）
計算極限時常見的形式
- \(\cfrac 00, \cfrac {\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty\)：化成倒三角形；根號差有理化；洛必達法則。
- \(\infty - \infty\)：同分成一個分式在處理。
- \(\infty^0, 0^0\)：使用\(\lim u^v = e^{\lim v \ln u}\)處理。
- \(1^\infty\)：使用\(\lim u^v = e^{\lim (u-1)v}\)處理。
3 連續
定義
滿足\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)
性質
連續函數的和差積商仍為連續函數。
\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，則：
- \(f(x)\)在\([a,b]\)上有界
- \(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值、最小值
- \(m \le \mu \le M\)，則至少存在一點\(\xi \in [a,b]\)，使\(f(\xi) = \mu\)
- \(f(a)f(b) \lt 0\)，則至少存在一點\(\xi \in [a,b]\)，使\(f(\xi) = 0\)
間斷
不滿足\(\displaystyle \underbrace {\lim_{x \to x_0^+} f(x)}_a = \underbrace{\lim_{x \to x_0^-} f(x)}_b = \underbrace{f(x_0)}_c\)，這些點出現在無定義點、分段函數的分段點。
- \(a \neq b\): 跳躍間斷點
- \(a = b \neq c\): 可去間斷點
- \(a = \infty \ or \ b = \infty\): 無窮間斷點
- \(a \ or \ b\)振盪: 振盪間斷點
1、2 為第一類間斷點，3、4 為第二類間斷點。