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本文轉載自：傳送門 知乎作者：三川啦啦啦
等價無窮小替換，本質上是一個選擇估計值精確度的問題。我下面通過一個非常通俗易懂的例子來說明.
我問
\(\LARGE \frac{\pi-3}{0.1}\approx ?\)
答：約等於1.
什么， \(\pi = 3.1_{\cdots}\) 代入上式，
\(\LARGE \frac{\pi-3}{0.1}=\frac{3.1-3}{0.1}=\frac{0.1\ldots}{0.1}\approx 1\)
這個時候，我們只需要用到 π 的估計值 3.1就夠了.
但是，若問
\(\LARGE \frac{\pi-3.1}{0.0415}\approx ?\)
這個時候，如果我們仍然選擇 π 的估計值 3.1代入上式，就會出現災難性后果：
\(\LARGE \frac{0}{0.0415}\approx 0\)
這個約等於就跟玩一樣，明明約等於 1 才更准確啊！
\(\LARGE \frac{\pi-3.1}{0.0415}=1.002232616621519_{\cdots}\)
導致這個后果的原因是什么呢？
你看，如果我使用 π 稍精確一點估計值3.14（而不是3.1），代入結果
\(\LARGE \frac{\pi-3.1}{0.041}\approx\frac{0.040}{0.041}\approx 1\)
問題又來了（這是一個關鍵性問題），
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為什么在第二種情況，我們選擇了π 更精確的估計值3.14，而沒有選用3.1？
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前后兩道例題的區別在哪里？
前后兩個例子的區別在於——對誤差項估計的精確程度要求不同，前一道題對 π 的估計只精確到了十分位（0.1），而后者對 π 的估計精確到了百分位（0.01）.
我們會發現分母是一個對精確度要求的明顯指標——分母數量級越小，對分子的變化越敏感(想想反比例函數在0點的性態)，於是對估值的精度要求變高.
其實等價無窮小的替換，無非也是這種情況，下面僅說明一例.
我們知道
\(\LARGE ln(1+x) \sim x , \vert x \vert < 1\)
是一對很經典的等價無窮小.
學習了 Taylor公式后，我們知道關於 ln(1+x) 更精確的逼近式：
\(\LARGE ln (1+x) \sim x - \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\ldots\)
對於極限
\(\LARGE \lim\limits_{x\to 0} \frac{ln(1+x)}{x} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{x} = 1\)
這個時候，用 x 當作 ln(1+x) 的“估計值”，已經夠用了（注意分母），而若求極限
\(\LARGE \lim\limits_{x\to 0}\frac{ln(1+x)-x}{x^{2}} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^{2}}{2} - x }{x^{2}} = -\frac{1}{2}\)
這是時候用\(\frac{x-x^{2}}{2}\)作為\(ln(1+x)\)的“估計值”，顯然比用 x 顯得更為適宜（注意分母）.
注意到了什么規律了嗎？？？
分母是幾階，泰勒就得展到幾階，這就是所謂的上下同階原理.