無窮小
無窮小的定義：
如果函數 \(f(x)\) 當 \(x \rightarrow x_0\) （或 \(x \rightarrow \infty\)）時的極限為零那么稱函數 \(f(x)\) 為當 \(x \rightarrow x_0\) （或 \(x \rightarrow \infty\)）時的無窮小。
特別的，以零為極限的數列 \(\{ a_n \}\) 稱為 \(n \rightarrow \infty\) 的無窮小
注意：不要把無窮小與很小的數(例如百萬分之一)混為一談，因為無窮小是這樣的函數，在\(x \rightarrow x_0\) （或 \(x \rightarrow \infty\)）的過程中，這函數的絕對值能小於任意給定的正數 \(\varepsilon\) ，而很小的數如百萬分之一，就不能小於任意給定的正數 \(\varepsilon\)，例如取 \(\varepsilon\) 等於千萬分之一，則百萬分之一就不能小於這個給定的 \(\varepsilon\) .但零是可以作為無窮小的唯一的常數，因為如果\(f(x) \equiv 0\)，那么對於任意給定的 \(\varepsilon > 0\) 總有 \(\lvert f(x) \rvert < \varepsilon\) .
定理：
在自變量的同一變化過程 \(x \rightarrow x_0\) （或 \(x \rightarrow \infty\)）中，函數 \(f(x)\) 具有極限 \(A\) 的充分必要條件 \(f(x) = A + \alpha\) ，其中 \(\alpha\) 是無窮小。
無窮大
無窮大的定義：
函數 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某一去心鄰域內有定義（或 \(\lvert x \rvert\) 大於某一正數時有定義）。如果對任一給定的正數 \(M\) （不論它多么大），總存在正數 \(\delta\) （或正數 \(X\) ），只要 \(x\) 適合不等式 \(0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta\) （或 \(\lvert x \rvert > X\) ），對應的函數值 \(f(x)\) 總滿足不等式
\[\lvert f(x) \rvert > M \]那么稱函數 \(f(x)\)是當 \(x \rightarrow x_0\) （或 \(x \rightarrow \infty\)）時無窮大。
定理：
在自變量的同一變化過程 中，如果 \(f(x)\) 為無窮大，那么 \(\cfrac{1}{f(x)}\) 為無窮小；反之，如果 \(f(x)\) 為無窮小，且 \(f(x) \neq 0\) ，那么 \(\cfrac{1}{f(x)}\) 為無窮大。
無窮小的比較
定義：
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = 0\) ，則稱 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 高階的無窮小，記作 \(\beta = o(\alpha)\)
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = \infty\) ，則稱 \(\beta\) 是 \(\alpha\) 低階的無窮小
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = c \neq 0\) ，則稱 \(\beta\) 與 \(\alpha\) 是同階無窮小
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0\) ，則稱 \(\beta\) 是關於 \(\alpha\) 的 \(k\) 階無窮小
如果 \(\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = 1\) ，則稱 \(\beta\) 與 \(\alpha\) 是等價無窮小， 記作 \(\alpha \sim \beta\)
定理1：
\(\beta\) 與 \(\alpha\) 是等價無窮小的充要條件為：
\[\beta = \alpha + o(\alpha) \]
定理2：
設 \(\alpha \sim \widetilde{\alpha},\beta \sim \widetilde{\beta}\) ，且 \(\displaystyle \lim{\cfrac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}}\) 存在，則
\[\lim \cfrac{\beta}{\alpha} = \lim{\cfrac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}} \]