微分和不定積分的演算
首先根據微分的定義得出式子的等價關系
通常而言，微分的式子有這樣的形式（否則需要變成這樣的形式)
\[dA(C) = BdC \tag{1} \]
根據微分的定義，它等價於
\[\lim_{\Delta C \to 0} \dfrac{A(C+\Delta C) - A(C) }{\Delta C} = B\tag{2} \]
這樣，按照原函數的定義，\(A\) 是 \(B\) 的原函數
注意，上面兩個式子的等號 \(=\) 都是等價關系，因為式子 \((2)\) 兩側是實數 \(\R\)，而式子 \((1)\) 等價於式子 \((2)\)
不定積分實例
\[\int 2xdx \]
為了求這個不定積分，也就是找到原函數，我們猜測 \(dx^2 = 2xdx\)
於是求得原函數是 \(x^2\)
加或乘一個實數
\[2xdx = dx^2 \iff xdx = d\dfrac{1}{2}x^2 \]
\[d\dfrac{1}{2}x^2 = xdx \iff d\dfrac{1}{2}(x+1)^2 = (x+1)dx \]
\[d(x+C) = dx \]
證明: \(d(x+C) = 1*dx\)
- 微分表示的不變性指示了一種等價關系，但是如果真的用這種等價關系來直接替換，
我個人覺得不妥，因為下式兩側不同的 \(dx,d(x+C)\) 指示了兩種不同的演算。
故而我不會默認他能直接替換，而是用定義證明替換后結果相同
\[f(x)d(x+C) = f(x) dx \]
證明： 設 \(dF(x+C) = f(x)d(x+C)\)
\(g(x) = x+C\)，那么 \(F(x+C) = F\circ g(x)\)，所以上式等於
\[dF\circ g(x) = f(x)dg(x) \]
由於 \(x = g^{-1}(g(x))\)，所以 \(dF\circ g(x) = f(g^{-1}(g(x)))dg(x)\)
於是 \(F\) 是 \(f\circ g^-1\) 的原函數，即
\[F'(x) = f\circ g^{-1} (x) = f(x-C) \]
於是由微分形式不變性，有
\[(F(g(x)))' = F'(g(x))g'(x) = f((x+C)-C) = f(x) \]
也即
\[dF(x+C) = f(x)dx \]
綜上
\[f(x)d(x+C) = dF(x+C) = f(x)dx \]
- 把 4 寫成更一般的形式
\[f(x)du(x) = f(x)u'(x)dx \]
證明： 設 \(dF(u(x)) = f(x)du(x) = f(u^{-1}(u(x)))du(x)\)
這里取了逆函數，但最終結果並沒有逆.
我猜測 u 可逆是充要條件
那么 \(F\) 是 \(f\circ u^{-1}\) 的原函數，於是有
\[F'(x) = f(u^{-1}(x)) \]
既然 F' 和 f 都存在，那么由於 f 的任意性，f 可以是可逆的
u 的逆 = f 的逆 ∘ F'，這說明 u 似乎必須可逆
這個論證不是很嚴格，之后再看看吧
由微分形式不變性，有
\[(F(u(x)))' = F'(u(x))u'(x) = f(x)u'(x) \]
也就是
\[dF(u(x)) = F'(u(x))u'(x)dx = f(x)u'(x)dx \]
綜上
\[\begin{aligned} f(x)du(x) &= dF(u(x)) \\ &= F'(u(x))u'(x)dx \\ &= f(x)u'(x)dx \end{aligned} \]
- \(u\) 不可逆的情況
\[xdx^2 = 2x^2dx \]
說明：
\[xdx^2 = \begin{cases} (x^2)^{1/2}dx^2 = d(2(x^2)^{1/2}) & x\ge 0 \\ -(x^2)^{1/2}dx^2 = d(-(x^2)^{1/2}) & x< 0 \end{cases} \]
也就是說，\(x<0\) 和 \(x\ge 0\) 時，\(xdx^2\) 的 “原函數” 是不同的
事實上，我們積分給出的題目都是形如
\[\int f(x)dx \]
需要求以 \(x\) 為自變量的原函數，因此形如 \(du(x)\) 的情形只會被我們自己搞出來
事實上，看 第二換元法 的要求就是要 \(x = \psi(t)\) 在區間 \(J\) 上嚴格單調且連續，並在 \(J^\circ\) 上可導，這說明 \(\psi\) 是可逆的
這個個人感覺是非法寫法，但是還是屬於合理的語法糖：
\[\int (xdx+1) = \int xdx+1 \]
非法寫法
\[\int (xdx+ydy) \]
\[\int xdx+ydy = \int xdx + \int ydy \]
函數加法的微分
\[\begin{aligned} d(u(x)+v(x)) &= (u'(x)+v'(x))dx\\ &= u'(x)dx + v'(x)dx \\ &= du(x) + dv(x) \end{aligned} \]
這說明如果把 \(f(x)dx\) 看作乘法，那這個乘法有分配律
或者也可以仍然把 \(dx\) 看作一種指示記號，兩個不同的 \(d\) 相加表示分開積分（求原函數）
1
\[\int (du(x) + dv(x)) = \int du(x) + \int dv(x) = u(x) + v(x) \]
2
\[\int (u'(x)dx+v'(x)dx) = \int u'(x)dx + \int v'(x)dx = u(x) + v(x) \]
函數乘積的微分
\[d(u(x)v(x)) = u(x)dv(x) + v(x)du(x) \]
證明：
\[\begin{aligned} d(u(x)v(x)) &= (u(x)v'(x) + v(x)u'(x))dx \\ &= u(x)v'(x)dx + v(x)u'(x)dx \\ &= u(x)dv(x) + v(x)du(x) \end{aligned} \]
