微分和不定积分的演算
首先根据微分的定义得出式子的等价关系
通常而言，微分的式子有这样的形式（否则需要变成这样的形式)
\[dA(C) = BdC \tag{1} \]
根据微分的定义，它等价于
\[\lim_{\Delta C \to 0} \dfrac{A(C+\Delta C) - A(C) }{\Delta C} = B\tag{2} \]
这样，按照原函数的定义，\(A\) 是 \(B\) 的原函数
注意，上面两个式子的等号 \(=\) 都是等价关系，因为式子 \((2)\) 两侧是实数 \(\R\)，而式子 \((1)\) 等价于式子 \((2)\)
不定积分实例
\[\int 2xdx \]
为了求这个不定积分，也就是找到原函数，我们猜测 \(dx^2 = 2xdx\)
于是求得原函数是 \(x^2\)
加或乘一个实数
\[2xdx = dx^2 \iff xdx = d\dfrac{1}{2}x^2 \]
\[d\dfrac{1}{2}x^2 = xdx \iff d\dfrac{1}{2}(x+1)^2 = (x+1)dx \]
\[d(x+C) = dx \]
证明: \(d(x+C) = 1*dx\)
- 微分表示的不变性指示了一种等价关系，但是如果真的用这种等价关系来直接替换，
我个人觉得不妥，因为下式两侧不同的 \(dx,d(x+C)\) 指示了两种不同的演算。
故而我不会默认他能直接替换，而是用定义证明替换后结果相同
\[f(x)d(x+C) = f(x) dx \]
证明： 设 \(dF(x+C) = f(x)d(x+C)\)
\(g(x) = x+C\)，那么 \(F(x+C) = F\circ g(x)\)，所以上式等于
\[dF\circ g(x) = f(x)dg(x) \]
由于 \(x = g^{-1}(g(x))\)，所以 \(dF\circ g(x) = f(g^{-1}(g(x)))dg(x)\)
于是 \(F\) 是 \(f\circ g^-1\) 的原函数，即
\[F'(x) = f\circ g^{-1} (x) = f(x-C) \]
于是由微分形式不变性，有
\[(F(g(x)))' = F'(g(x))g'(x) = f((x+C)-C) = f(x) \]
也即
\[dF(x+C) = f(x)dx \]
综上
\[f(x)d(x+C) = dF(x+C) = f(x)dx \]
- 把 4 写成更一般的形式
\[f(x)du(x) = f(x)u'(x)dx \]
证明： 设 \(dF(u(x)) = f(x)du(x) = f(u^{-1}(u(x)))du(x)\)
这里取了逆函数，但最终结果并没有逆.
我猜测 u 可逆是充要条件
那么 \(F\) 是 \(f\circ u^{-1}\) 的原函数，于是有
\[F'(x) = f(u^{-1}(x)) \]
既然 F' 和 f 都存在，那么由于 f 的任意性，f 可以是可逆的
u 的逆 = f 的逆 ∘ F'，这说明 u 似乎必须可逆
这个论证不是很严格，之后再看看吧
由微分形式不变性，有
\[(F(u(x)))' = F'(u(x))u'(x) = f(x)u'(x) \]
也就是
\[dF(u(x)) = F'(u(x))u'(x)dx = f(x)u'(x)dx \]
综上
\[\begin{aligned} f(x)du(x) &= dF(u(x)) \\ &= F'(u(x))u'(x)dx \\ &= f(x)u'(x)dx \end{aligned} \]
- \(u\) 不可逆的情况
\[xdx^2 = 2x^2dx \]
说明：
\[xdx^2 = \begin{cases} (x^2)^{1/2}dx^2 = d(2(x^2)^{1/2}) & x\ge 0 \\ -(x^2)^{1/2}dx^2 = d(-(x^2)^{1/2}) & x< 0 \end{cases} \]
也就是说，\(x<0\) 和 \(x\ge 0\) 时，\(xdx^2\) 的 “原函数” 是不同的
事实上，我们积分给出的题目都是形如
\[\int f(x)dx \]
需要求以 \(x\) 为自变量的原函数，因此形如 \(du(x)\) 的情形只会被我们自己搞出来
事实上，看 第二换元法 的要求就是要 \(x = \psi(t)\) 在区间 \(J\) 上严格单调且连续，并在 \(J^\circ\) 上可导，这说明 \(\psi\) 是可逆的
这个个人感觉是非法写法，但是还是属于合理的语法糖：
\[\int (xdx+1) = \int xdx+1 \]
非法写法
\[\int (xdx+ydy) \]
\[\int xdx+ydy = \int xdx + \int ydy \]
函数加法的微分
\[\begin{aligned} d(u(x)+v(x)) &= (u'(x)+v'(x))dx\\ &= u'(x)dx + v'(x)dx \\ &= du(x) + dv(x) \end{aligned} \]
这说明如果把 \(f(x)dx\) 看作乘法，那这个乘法有分配律
或者也可以仍然把 \(dx\) 看作一种指示记号，两个不同的 \(d\) 相加表示分开积分（求原函数）
1
\[\int (du(x) + dv(x)) = \int du(x) + \int dv(x) = u(x) + v(x) \]
2
\[\int (u'(x)dx+v'(x)dx) = \int u'(x)dx + \int v'(x)dx = u(x) + v(x) \]
函数乘积的微分
\[d(u(x)v(x)) = u(x)dv(x) + v(x)du(x) \]
证明：
\[\begin{aligned} d(u(x)v(x)) &= (u(x)v'(x) + v(x)u'(x))dx \\ &= u(x)v'(x)dx + v(x)u'(x)dx \\ &= u(x)dv(x) + v(x)du(x) \end{aligned} \]
