高等数学 - 变限积分
说明：积分上限的函数连同复合函数总是不熟悉，特总结于此。
1 前驱
1.1 积分上限的函数的性质
性质1 如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，则其积分上限的函数 \(\Phi(x)=\int_a^xf(t)\text{d}t\) 在 \([a,b]\) 上可导，且满足 \(\Phi'(x)=f(x)\) 。
证明：\(\Delta\Phi=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)\)
\(=\int_a^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t-\int_a^{x}f(t)\text{d}t\)
\(=\int_a^xf(t)\text{d}t+\int_x^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t-\int_x^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t\)
\(=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\text{d}t\)
由积分中值定理，有
\(\Delta\Phi=f(\xi)\Delta x\)
其中, \(\xi \in [x,x+\Delta x]\)
即 \(\frac{\Delta \Phi}{\Delta x}=f(\xi)\)
两边取极限 \(x\to 0\) ，则有
\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta \Phi}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}f(\xi)=f(x)\)
即 \(\Phi'(x)\) 存在且为 \(f(x)\) 。
性质2 如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(\Phi(x)=\int_a^xf(t)\text{d}t\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数。
这个性质可以直接有性质1推导出来。
1.2 复合函数的求导
性质1：如果 \(u=g(x)\) 在点 \(x\) 可导，而 \(y=f(u)\) 在点 \(u=g(x)\) 可导，那么复合函数 \(y=f[g(x)]\) 在点 \(x\) 可导，且其导函数为
\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\cdot \frac{\text{d}u}{\text{d}x}\)
证明：由可导条件，有 \(\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)+\alpha(\Delta u)\)，
即 \(\Delta y=f'(u)\Delta u+\alpha(\Delta u)\Delta u\)
两边同时除以 \(\Delta x\) ，有
\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha(\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}\)
考虑 \(\Delta x\to 0\) ，有
\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\alpha(\Delta u)=\lim\limits_{\Delta u \to 0}\alpha(\Delta u)=0\)
故 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}\)
即 \(y'(x)=f'(u)u'(x)\)
或者 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\cdot \frac{\text{d}u}{\text{d}x}\)
2 积分上限为复合函数的函数求导
如果理解了复合函数的求导，此时就很简单了。
题目原型：记目标函数为 \(y=\int_{a}^{g(x)}f(x)\text{d}x\) ，求其导数 \(y'(x)\)
解：目标函数可写作 \(y=\int_{a}^{g(x)}f(t)\text{d}t\) ，改写成复合函数的形式，即：
\(\begin{cases} y=\int_{a}^{u}f(t)\text{d}t \\ u=g(x) \end{cases}\)
则有：
\(y'(x)=y'(u)u'(x)=f(u)g'(x)=f(g(x))g'(x)\)
扩展：记目标函数为 \(f(x,y)=\int_a^{g(x,y)}f(x,y)\text{d}x\)，求 \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\)
解：\(\implies \int_a^{g(x,y)}f(t,y)\text{d}t\) ，写成复合函数的形式：
\(\begin{cases} u=g(x,y) \\ f(x,y)=\int_a^{u}f(u,y)\text{d}u \end{cases}\)
故 \(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}=f(u,y)u'(x)=f(g(x,y),y)g'_x(x,y)\) ，然后再求 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 。
例一：（2020考研数学一）设函数 \(f(x,y)=\int_0^{xy}e^{xt^2}\text{d}t\) ，则 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}|_{(1,1)}=?\)
解：\(\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x(xy)^2}\cdot x=xe^{x^3y^2}\) ，则 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=e^{x^3y^2}+3x^3e^{x^3y^2}=4e\) 。
解2：\(\frac{\partial f}{\partial x}=?\)