微分
我們目前僅研究一元微分（也稱為常微分），后面所提到的微分如無特殊說明均指常微分
常微分微分與我們學過的 導數 有些類似
以下部分內容摘自Wikipedia
微分的定義
設函數 \(y=f(x)\) 在某區間 \(I\) 內有定義，\(x\) 和 \(x+\Delta x\) 均在此區間內。如果函數的增量可以表示為 \(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\)（其中 \(A\) 為不依賴於 \(\Delta x\) 的常數），而 \(o(\Delta x)\) 是比 \(\Delta x\) 高階的無窮小，那么稱函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 是可微的，且 \(A\Delta x\) 稱作函數在點 \(x_0\) 相應於自變量增量 \(\Delta x\) 的微分，記作 \({\rm d}y\)，即 \({\rm d}y=A\Delta x\)
通常把自變量 \(x\) 的增量 \(\Delta x\) 稱為自變量的微分，記作 \({\rm d}x\)，即 \({\rm d}x=\Delta x\)
微分與導數
微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，可微與可導是完全等價的概念。可微的函數，其微分等於導數乘以自變量的微分 \({\rm d}x\)，換言之，函數的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數，即 \(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=f'(x)\)。因此，導數也叫做微商。於是函數 \(y=f(x)\) 的微分又可以記作 \({\rm d}y=f'(x){\rm d}x\) 或 \({\rm d}f=f'(x){\rm d}x\)
微分的幾何意義
(注：圖片源自 Wikipedia)
由圖感性理解，當 \(|\Delta x|\) 很小時，\(|\Delta y-{\rm d}y\) 比 \(|\Delta x|\) 要小得多（即高階無窮小），因此此時我們可以用切線段代替原函數的曲線段
原函數
原函數的定義
設函數 \(f\) 與 \(F\) 在區間 \(I\) 上都有定義，若
\[F'(x)=f(x),x\in I \]
則稱 \(F\) 為 \(f\) 在區間 \(I\) 上的一個原函數
也就是說 \(F\) 在 \(I\) 上的導函數為 \(f\)，那么 \(F\) 就是 \(f\) 在 \(I\) 上的原函數
關於原函數的定理
【定理1】 若函數 \(f\) 在區間 \(I\) 上連續，則 \(f\) 在 \(I\) 上存在原函數 \(F\)，即 \(F'(x)=f(x),x\in I\)
【定理2】 設 \(F\) 為 \(f\) 在區間 \(I\) 上的一個原函數，則 \(F+C\) 也是 \(f\) 在 \(I\) 上的原函數，其中 \(C\) 為任意常量函數（注：這里 \(C\) 既作為常量函數，又作為該常量函數的函數值，不會混淆時常說“ \(C\) 是任意常數”）
【定理3】 \(f\) 在 \(I\) 上的任意兩個原函數之間，可能只相差一個常數
不定積分
不定積分的定義
函數 \(f\) 在區間 \(I\) 上的全體原函數被稱為 \(f\) 在 \(I\) 上的不定積分，記作
\[\int f(x){\rm d}x \]
其中稱 \(\int\) 為積分號，\(f(x)\) 為被積函數，\(f(x){\rm d}x\) 為被積表達式（也就是 \(f\) 的原函數 \(F\) 的微分），\(x\) 為積分變量
由此可見，若 \(F\) 是 \(f\) 的一個原函數，則 \(f\) 的不定積分是一個函數族 \(\{F+C\}\)，其中 \(C\) 是任意常數，可以記為
\[\int f(x){\rm d}x=F(x)+C \]
這時又稱 \(C\) 為積分常數，它可取任一實數值，於是又有
\[[\int f(x){\rm d}x]'=[F(x)+C]'=f(x)\\ {\rm d}(\int f(x){\rm d}x)={\rm d}[F(x)+C]=f(x){\rm d}x \]
不定積分的幾何意義
若 \(F\) 是 \(f\) 的一個原函數，將 \(F\) 所代表的曲線在坐標系中沿着縱軸方向平移（也就是 \(+C\) ）所得到的所有曲線組成的曲線集就是 \(f\) 的不定積分
感性理解一下，積分是微分的逆運算，不定積分曲線集中的每一條曲線求導后 \(+C\) 會被去掉，得到的 \(f\) 就都是一樣的
基本積分表
求原函數並沒有通解，我們只能通過一些基本的積分公式去推測試探
\[\begin{align*} &1.\int0{\rm d}x=C\\ &2.\int1{\rm d}x=\int{\rm d}x=x+C\\ &3.\int x^a{\rm d}x=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C(a\ne-1,x>0)\\ &4.\int\dfrac1x{\rm d}x=\ln |x|+C(x\ne0)\\ &5.\int e^x{\rm d}x=e^x+C\\ &6.\int a^x{\rm d}x=\dfrac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne1)\\ &7.\int\cos ax{\rm d}x=\dfrac1a\sin ax+C(a\ne0)\\ &8.\int\sin ax{\rm d}x=-\dfrac1a\cos ax+C(a\ne0)\\ &9.\int\sec^2x{\rm d}x=\tan x+C\\ &10.\int\csc^2x{\rm d}x=-\cot x+C\\ &11.\int\sec x\cdot\tan x{\rm d}x=\sec x+C\\ &12.\int\csc x\cdot\cot x{\rm d}x=-\csc x+C\\ &13.\int\dfrac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_1\\ &14.\int\dfrac{{\rm d}x}{1+x^2}=\arctan x+C=-{\rm arccot} x+C_1. \end{align*} \]
這些基本積分公式非常重要，必須記牢，一定要能熟練運用這些公式
不定積分的線性運算法則
若函數 \(f\) 與 \(g\) 在區間 \(I\) 上均存在原函數，\(k_1,k_2\) 為兩個任意常數，則 \(k_1f+k_2g\) 在 \(I\) 上也存在原函數，且
\[\int[k_1f(x)+k_2g(x)]{\rm d}x=k_1\int f(x){\rm d}x+k_2\int g(x){\rm d}x \]
證明：
\[\begin{align*} [k_1\int f(x){\rm d}x+k_2\int g(x){\rm d}x]'&=k_1(\int f(x){\rm d}x)'+k_2(\int g(x){\rm d}x)'\\ &=k_1f(x)+k_2g(x) \end{align*} \]
同理容易得出一般形式：
\[\int(\sum_{i=1}^nk_if_i(x)){\rm d}x=\sum_{i=1}^n(k_i\int f_i(x){\rm d}x) \]
練習
運用基本積分表和不定積分線性運算法則可以求解一些簡單函數的不定積分，還有其他求解的方法，之后會講解
1.計算 \(\int(x^3-x-\frac1{\sqrt[3]{x^2}}+1){\rm d}x\)
解：根據線性運算法則，原式等於
\[\int x^3{\rm d}x-\int x{\rm d}x-\int x^{-\frac23}{\rm d}x+\int 1{\rm d}x \]
再套基本積分公式即可，原式等於
\[\frac{x^4}4-\frac{x^2}2-3x^{\frac13}+x+C \]
2.計算 \(\int({\rm e}^x-{\rm e}^{-x})^3{\rm d}x\)
解：先利用完全立方差公式展開式子，再用線性運算法則拆分，最后套基本積分公式即可
\[\begin{align*} \int({\rm e}^x-{\rm e}^{-x})^3{\rm d}x&=\int({\rm e}^{3x}-{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-{\rm e}^{-3x}){\rm d}x\\ &=\int{\rm e}^{3x}{\rm d}x-\int{\rm e}^x{\rm d}x+\int{\rm e}^{-x}{\rm d}x-\int{\rm e}^{-3x}{\rm d}x\\ &={\rm e}^{3x}-{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-{\rm e}^{-3x}+C \end{align*} \]
3.計算 \(\int\sin^2x{\rm d}x\)
這道題如果只用線性運算法則和基本積分公式很難想到解法，解法也很湊巧，使用后面的方法可以更便捷地計算，不感興趣可以先跳過此題
解：首先根據和角公式可以得出
\[\begin{align*} 1-\cos2x&=1-(\cos^2x-\sin^2x)\\ &=\cos^2x+\sin^2x-\cos^2x+\sin^2x\\ &=2\sin^2x \end{align*} \]
那么我們可以把原式變換
\[\int\sin^2x{\rm d}x=\frac12\int2\sin^2x{\rm d}x \]
根據上面推出的式子可以得到
\[\frac12\int2\sin^2x{\rm d}x=\frac12\int(1-\cos2x){\rm d}x \]
再用線性運算法則拆分，最后套基本積分公式即可
\[\begin{align*} \frac12\int(1-\cos2x){\rm d}x&=\frac12\int1{\rm d}x-\frac12\int\cos2x{\rm d}x\\ &=\frac x2-\frac{\sin2x}2+C \end{align*} \]
(注：圖片源自鯡魚罐頭APP)
注意：積分時切記不要漏掉常數 \(C\)
換元積分法
換元法的證明和詳細解釋都很冗長，這里我只是簡短的介紹一下，利用例題相信可以更好地幫助理解
第一類換元公式
第一類換元公式就是把被積表達式進行變化，構造成 \(g(\varphi(x))\varphi'(x){\rm d}x\) 的形式，然后根據微分 \({\rm d}f=f'{\rm d}x\) 把原式變形為 \(g(\varphi(x)){\rm d}\varphi\)，然后換元，令 \(u=\varphi(x)\)，將原式化為了更容易積分的 \(\int g(u){\rm d}u\)，下面結合題目感受一下
1.求 \(\int\tan x{\rm d}x\)
解：
\[\int\tan x{\rm d}x=\int\frac{\sin x}{\cos x}{\rm d}x=\int\frac{-(\cos x)'}{\cos x}{\rm d}x=-\int\frac{(\cos x)'}{\cos x}{\rm d}x \]
令 \(u=\cos x\)，根據微分的定義 \((\cos x)'{\rm d}x={\rm d}(\cos x)={\rm d}u\)，則有
\[-\int\frac{(\cos x)'}{\cos x}{\rm d}x=-\int\frac{{\rm d}u}{u}=-\int\frac1{u}{\rm d}u \]
再套基本積分公式
\[-\int\frac1{u}{\rm d}u=-\ln|u|+C=-\ln|\cos x|+C \]
2.求 \(\int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}(a>0)\)
解：先把被積表達式上下同時除以 \(a\)
\[\int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{{\rm d}\left(\frac xa\right)}{\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}} \]
然后換元，令 \(u=\frac xa\)
\[\int\frac{{\rm d}\left(\frac xa\right)}{\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}}=\int\frac{{\rm d}u}{\sqrt{1-u^2}} \]
套基本積分公式，別忘了把換元的部分還原
\[\int\frac{{\rm d}u}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C=\arcsin \frac xa+C \]
3.求 \(\int\frac{{\rm d}x}{x\cdot\ln x\cdot\ln\ln x}\)
解：先把原式拆開，然后不斷換元
\[\begin{align*} \int\frac{{\rm d}x}{x\cdot\ln x\cdot\ln\ln x} &=\int\frac1{\ln\ln x}\frac1{\ln x}\frac1x{\rm d}x\\ &=\int\frac1{\ln\ln x}\frac1{\ln x}(\ln x)'{\rm d}x\\ &=\int\frac1{\ln\ln x}\frac1{\ln x}{\rm d}(\ln x)\\ &=\int\frac1{\ln\ln x}(\ln\ln x)'{\rm d}(\ln x)\\ &=\int\frac1{\ln\ln x}{\rm d}(\ln\ln x)\\ &=\ln\ln\ln x+C \end{align*} \]
第二類換元公式
第一類換元公式是根據微分 \({\rm d}f=f'{\rm d}x\) 把原式變形，而第二類換元公式則是反過來，利用 \({\rm d}x=\frac{{\rm d}f}{f'}\) 把原式變形，同樣我們根據例題來理解
1.求 \(\int x{\rm e}^{2x^2}{\rm d}x\)
解：注意到被積表達式中的 \(2x^2\) 不好處理，考慮把 \({\rm d}x\) 變形為 \(\frac{{\rm d}(2x^2)}{(2x^2)'}=\frac{{\rm d}(2x^2)}{4x}\) 進行化簡
\[\begin{align*} \int x{\rm e}^{2x^2}{\rm d}x &=\int x{\rm e}^{2x^2}\frac{{\rm d}(2x^2)}{4x}\\ &=\frac14\int{\rm e}^{2x^2}{\rm d}(2x^2)\\ &=\frac14{\rm e}^{2x^2}+C \end{align*} \]
2.求 \(\int(x+1)^n{\rm d}x\)
\((x+1)^n\) 二項式展開好麻煩，感覺好惡心，怎么辦呢？考慮換元
解：
\[\begin{align*} \int(x+1)^n{\rm d}x &=\int(x+1)^n{\rm d}(x+1)\\ &=\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}+C \end{align*} \]
3.求 \(\int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}\)
取次數的最小公倍數換元，令 \(x=u^6\) ，就可以被積表達式換成更簡單的形式
解：
\[\int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} =\int\frac{6u^5}{u^3+u^2}{\rm d}u \]
利用大除法因式分解 \(u^5=(u^3+u^2)(u^2-u+1)-u^2\)
\[\begin{align*} \int\frac{6u^5}{u^3+u^2}{\rm d}u &=6\int(u^2-u+1-\frac1{u+1}){\rm d}u\\ &=6\left(\frac{u^3}3-\frac{u^2}2+u-\ln|u+1|\right)+C\\ &=2x^{\frac12}-3x^{\frac13}+6x^{\frac16}-6\ln|x^{\frac16}+1|+C \end{align*} \]
分部積分法
分部積分法由乘積求導法推導而來，推導過程省略
若 \(u(x),v(x)\) 可導，不定積分 \(\int u'(x)v(x){\rm d}x\) 存在，則 \(\int u(x)v'(x){\rm d}x\) 也存在，並有
\[\int u(x)v'(x){\rm d}x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x){\rm d}x \]
可簡寫為
\[\int u{\rm d}v=uv-\int v{\rm d}u \]
下面給出幾道例題
1.計算 \(\int x\cos x{\rm d}x\)
解：套用分部積分法
\[\begin{align*} \int x\cos x{\rm d}x &=\int x{\rm d}(\sin x)\\ &=x\sin x-\int\sin x{\rm d}x\\ &=x\sin x+\cos x+C \end{align*} \]
2.計算 \(\int x^2{\rm e}^{-x}{\rm d}x\)
解：對原式先變形，然后使用一次分部積分法
\[\begin{align*} \int x^2{\rm e}^{-x}{\rm d}x &=\int x^2{\rm e}^{-x}(-1){\rm d}(-x)\\ &=\int x^2{\rm d}(-{\rm e}^{-x})\\ &=-x^2{\rm e}^{-x}+2\int x{\rm d}(-{\rm e}^{-x}) \end{align*} \]
注意到還是不好整，再使用一次分部積分法
\[\begin{align*} -x^2{\rm e}^{-x}+2\int x{\rm d}(-{\rm e}^{-x}) &=-x^2{\rm e}^{-x}-2x{\rm e}^{-x}+2\int{\rm e}^{-x}{\rm d}x\\ &={\rm e}^{-x}(-x^2-2x+2)+C \end{align*} \]
3.計算 \(\int\frac{\ln x}{x^3}{\rm d}x\)
解：先進行轉換，再使用分部積分法
\[\begin{align*} \int\frac{\ln x}{x^3}{\rm d}x &=\int\frac{(x^{-2})'}{-2}\ln x{\rm d}x\\ &=-\frac12\int\ln x{\rm d}(x^{-2})\\ &=-\frac12(x^{-2}\ln x-\int x^{-3}{\rm d}x)\\ &=-\frac12(x^{-2}\ln x-\frac{x^{-2}}{-2})+C\\ &=-\frac{x^{-2}\ln x}2-\frac{x^{-2}}4+C \end{align*} \]
寫了兩天終於寫完了微分和不定積分，還有定積分要寫，累死了
該文為本人原創，轉載請注明出處
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