高等數學——求解不定積分經典換元法

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今天是高等數學專題的第九篇文章，我們繼續來看不定積分。

在上篇文章當中我們回顧了不定積分的定義以及簡單的性質，我們可以簡單地認為不定積分就是求導微分的逆操作。我們要做的是根據現有的導函數，逆推出求導之前的原函數。

除了基本定義之外，我們還介紹了一些簡單的性質和常用積分的積分表。但是顯然根據已有的性質對於許多復雜的函數來說求解積分仍然非常困難，所以本篇文章的重點是繼續介紹不定積分的運算性質，從而簡化我們一些復雜函數的計算過程。甚至是完成一些原本不能完成的計算。今天介紹的是最常用的換元積分法。

換元法是數學當中經常用到的方法，無論是求導計算還是一些復雜函數的運算，我們經常會使用換元法來降低問題的難度。同樣，在不定積分的求解當中，我們一樣可以使用換元法來進行。通常換元法分成兩類，為什么會有兩類？這兩類有什么不同？這些問題可以先放一放，等看完文章就清楚了。

第一類換元法

第一類換元法比較容易理解，其實是鏈式求導法則的逆運算。

比如，我們有函數\(F'(u) = f(u)\)，顯然函數F(u)是f(u)的原函數，所以：\(\int f(u)du = F(u) + C\)

如果u是中間變量，並且\(u= \phi(x)\)，我們對\(F(u)\)求導，根據復合函數的鏈式求導法則，可以得到：

\[d[F(u)]=d[F(\phi(x)]=f[\phi(x)]\phi'(x)dx \]

我們把上面這個式子用積分反過來，就可以得到不定積分的換元公式：

\[\int f[\phi(x)]\phi'(x)dx = F[\phi(x)] + C = [\int f(u)du]_{u=\phi(x)} \]

我們通過簡單的推導獲得了公式，那么這個公式怎么用呢？初看起來總有些難以下手的感覺，這是正常的，我們需要繼續來化簡。

假設我們要求\(\int g(x)dx\)，直接求解比較麻煩，如果我們可以把g(x)想辦法轉化為\(f[\phi(x)]\phi'(x)\)的形式，那么我們就可以套用公式得到：

\[\int g(x)dx = \int f[\phi(x)]\phi'(x) dx = [\int f(u)du]_{u=\phi(x)} \]

這個時候函數g(x)的積分就轉化成了函數f(u)的積分，如果能求到f(u)的原函數，那么我們也就得到了g(x)的原函數。一般來說經過了換元化簡之后得到的函數f(u)都會比原函數g(x)簡單得多，這也是換元法的意義。

光說不練假把式，我們來看一個例子：

\[\int \frac{1}{3 + 2x}dx \]

由於分母上的x有一個系數，導致我們不能直接使用積分公式。這個時候就需要換元，不難想到，我們可以用u = 3 + 2x。由於我們要湊出f(u)du，我們發現u對x的導數為2，所以我們可以將原式變形：

\[\begin{aligned} \int \frac{1}{3 + 2x}dx &= \int \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3+2x} d(3 + 2x) \\ &= \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C \\ &= \frac{1}{2} \ln|3 + 2x| + C \end{aligned} \]

通過上面這個例子，我們可以發現，其實換元法的精髓很簡單，我們在換元之后，需要湊一下f(u)du。當我們湊到了之后，就可以把u當成變量套積分公式了。

我們再來看一個復雜一些的例子：

\[\int \cos^2xdx \]

在這個例子當中，我們要計算的函數比較復雜，既包含三角函數，又有平方操作。簡單粗暴直接搞肯定是不行的，我們需要先把\(cos^2x\)看成是\(\cos x \cdot \cos x\)，這樣我們就可以套用積化和差公式，得到：\(\frac{1}{2}(1 + \cos 2x)\)

到這里就簡單很多了：

\[\begin{aligned} \int \cos^2x dx = \int \frac{1}{2}(1 + \cos 2x) dx \end{aligned} \]

我們令u = 2x，上式可以變形為：

\[\begin{aligned} \int \cos^2x dx &= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int du + \int \frac{1}{2}\cos u du) \\ &= \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{4} \int \cos u du \\ &= \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \end{aligned} \]

第二類換元法

熟悉了第一類換元法之后，我們來看第二類換元法。

在第一類換元法當中我們用一個新的變量來代替了一個相對比較復雜的函數，比如我們用u代替了2x或者是2x+3等函數，簡化了后續的運算。而第二類換元法的思路剛好相反，我們將原本單一的變量轉化成一個復雜的表達式。比如我們用三角函數或者是極坐標來表示原本的x，這種做法在高中的數學題當中經常常見，尤其是解析幾何的問題。我們經常建立極坐標，用極坐標公式來換元簡化計算。

也就是說第二種換元法剛好和第一類換元法的邏輯相反，我們是將x轉化成\(\phi(t)\)。所以換元公式為：

\[\int f(x)dx = \int f[\phi(t)]\phi'(t)dt \]

但是這么做是有前提的，f(x)既然可積說明積分一定存在，但是右邊換元之后的式子卻並不一定。所以我們需要保證\(\int f[\phi(t)]\phi'(t)\)的原函數存在。其次，在我們換元計算結束之后，我們需要用\(x = \phi(t)\)的函數的反函數\(t = \phi^{-1}(x)\)代入回去。但是要保證反函數存在並且可導的，我們可以簡單認為原函數\(x = \phi(t)\)在某個區間上是單調可導的，並且\(\phi'(t) \neq 0\)。

我們根據上面的定義寫出換元公式：

\[\int f(x) dx = [\int f[\phi(t)]\phi'(t)dt]_{t = \phi^{-1}(x)} \]

我們同樣可以使用鏈式求導法則來證明，我們假設\(f[\phi(t)]\phi'(t)\)的原函數是\(\Phi(t)\)，所以\(\Phi(t)=\Phi[\phi^{-1}(x)]=F(x)\)，我們對\(F(x)\)求導，可以得到：

\[\begin{aligned} F'(x) &= \frac{d\Phi}{dt}\cdot \frac{dt}{dx} = f[\phi(t)]\phi'(t)\cdot \frac{1}{\phi'(t)} \\ &= f[\phi(t)] = f(x) \end{aligned} \]

我們同樣來看一個例子：\(\int \sqrt{a^2 - x^2}dx\)

這個例子當中又有平方根，又有平方項，看起來非常麻煩，這個時候我們就需要進行換元。因為\(\sin^2 t + \cos^2t = 1\)，所以我們可以令\(x = a\sin t\)，\(t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)。我們代入原式，可以得到：

\[\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 - x^2}dx = \int a\cos t \cdot a\cos t dt = a^2 \int cos^2 tdt \end{aligned} \]

\(\int cos^2 tdt\) 其實就是我們上面講的第二個例子，我們之前計算得到過答案：\(\int \cos^2x dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\)，我們代入原式，可以得到：

\[\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 - x^2}dx &= a^2(\frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4}) + C \\ &= \frac{a^2}{2}t + \frac{a^2}{2}\sin t \cos t + C \end{aligned} \]

由於\(x = a\sin t, -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}\)，所以\(t = \arcsin \frac{x}{a}\)，\(\sin t = \frac{x}{a}\)，\(\cos t = \sqrt{1 - \sin^2t} = \sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}\)，我們將這些帶入上式可以得到最終結果：

\[\int \sqrt{a^2 - x^2}dx = \frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a} + \frac{1}{2}x \sqrt{a^2 - x^2} + C \]

到這里，兩個換元方法就介紹完了，雖然看起來簡單，但是我們結合之前介紹的常用積分公式，還可以衍生出許多種不同的用法。但是想要把這些用法全部吃透需要我們對積分公式以及換元應用都非常熟悉才行，這些並不是一兩篇文章就能做到的，必須要做大量的練習，我想考研的同學應該有非常深刻的體會。

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