高等數學以及Python 實現

一：第一章：

基本初等函數：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')  #不發出警告

#映射與函數
#冪函數
if 0:
    x = np.linspace(-np.pi,2*np.pi,num = 50)
    y = x**2

    plt.scatter(x,y,marker='.')
    plt.plot(x,y)

    #輔助線
    plt.axvline(0,color ='cyan',linestyle = '--',alpha = 0.8)
    plt.axhline(0,color='cyan',linestyle='--',alpha = 0.8)


    plt.show()
    pass
#指數函數
if 0:
    x = np.linspace(-np.pi,2*np.pi,num = 50)
    y = 2**x  #指數函數

    plt.scatter(x,y,marker='.')
    plt.plot(x,y)

    plt.axhline(0,color='cyan',linestyle='--',alpha = 0.8)
    plt.axvline(0,color='cyan',linestyle='--',alpha = 0.8)

    plt.show()
    pass

#對數函數
if 0:
    x = np.linspace(-np.pi,2*np.pi,num= 50)
    y = np.log2(x)

    plt.scatter(x,y,marker = '.')
    plt.plot(x,y)

    plt.axhline(0,color='cyan',linestyle = '--',alpha = 0.8)
    plt.axvline(0,color='cyan',linestyle = '--',alpha = 0.8)

    plt.show()



    pass

#三角函數
if 0:
    x = np.linspace(-np.pi,2*np.pi,num=50)
    y = np.sin(x)

    plt.scatter(x,y,marker ='.')
    plt.plot(x,y)

    plt.axhline(0,color = 'cyan',linestyle ='--',alpha = 0.8)
    plt.axvline(0,color='cyan',linestyle = '--',alpha = 0.8)

    plt.show()

    pass

#反三角函數
if 0:
    #f = arcsin(x)
    x = np.linspace(-np.pi,2*np.pi,num = 100)
    y = np.arccos(x)

    plt.scatter(x,y,marker = '.')
    plt.plot(x,y)

    plt.axhline(0,color='cyan',linestyle='--',alpha = 0.8)
    plt.axvline(0,color='cyan',linestyle='--',alpha = 0.8)

    plt.show()
    pass

 

數列 和函數的極限：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# import warnings
# warnings.filterwarnings('ignore')  #不發出警告

#數列  x/(x+1)  的極限
if 0:
    x  = np.arange(50)
    y = x/(x+1)

    plt.scatter(x,y,marker = '.')
    plt.plot(x,y)

    plt.axvline(0,color='cyan',linestyle='--',alpha = 0.8)
    plt.axhline(0,color='cyan',linestyle='--',alpha = 0.8)

    plt.show()

    pass

#函數的極限
if 0:
    x = np.linspace(-2,2,num=100)
    y = x**2 -1

    plt.scatter(x,y,marker = '.')
    plt.plot(x,y)

    plt.axvline(0,color='cyan',linestyle='--')
    plt.axhline(0,color='cyan',linestyle='--')

    #極限值
    plt.axhline(-1,color='red',linestyle = '--')
    plt.show()
    pass


#練習 ：極限
#函數的極限
if 1:
    x = np.arange(1,50)
    y = (2*x+1)/x

    plt.scatter(x,y,marker = '.')
    plt.plot(x,y)

    # plt.axhline(2)  #默認顏色是類似於  cyan
    plt.axhline(2,color='red') #默認是直線


    plt.show()
    pass

二：第二章：

導數與微分：

import  numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

#導數
if 0:
    def f(x):
        return x**2

    plt.figure(figsize = (12,6))
    n = np.linspace(-10,10,num=50)

    plt.plot(n,f(n))
    plt.xlim(-10,10)
    # plt.ylim(-10,100)  #設置axes 的limits

    #畫出兩點一線
    plt.plot([2,5],[4,25],color='r')

    x_m = 2
    for  i in range(1,5):
        plt.plot([x_m,x_m+i],[f(x_m),f(x_m+i)],color='r')







    plt.show()

    pass

#求函數在一點處的導數
if 0:
    def f(x):
        return x ** 2
    def ds(x,d):
        '''

        :param x: 選取一點
        :param d: 向右偏離x 的距離
        :return: 斜率
        '''
        y1 = f(x)
        y2 = f(x+d)
        return (y2-y1)/d

    for i in np.linspace(1,0,num=1000,endpoint=False): #endpoint 可以控制是否要右端點
        ret = ds(2,i) #求 在 f(x)＝ｘ＾２　　當x = 10 時的導數
        print("當2 偏{:.3f} 個單位的時候，直線的斜率是{:.3f}".format(i,ret) )
    pass
#圖示
if 0:
    def f(x):
        return x**2
    n = np.linspace(-10,10,num = 50)
    plt.plot(n,f(n))

    plt.scatter(2,4)
    plt.plot(n,4*n-4)

    plt.show()

    pass


#
if 0:
    def f_(x):
        return 1 - 10 * x + 6 * x ** 2 - (1 + x ** 2) / (2 * x ** 2) + 3 * np.cos(x) * x + 3 * np.sin(x)

    def f(x):
        return 2*x**3 -5*x**2 + 3*x*np.sin(x) + (x**2 +1)/(2*x) -7

    x = np.linspace(10,0,num=100,endpoint=False)
    plt.figure(figsize=(12,6))
    plt.plot(x,f(x))

    m= n = 6
    plt.scatter(m,f(m))

    plt.plot(x,f_(x))
    plt.show()
    pass

 

泰勒公式：

 

 

導數與微分的應用：

單調性和凸凹性

　　單調性判斷：f'(x) >0 增  反之減

　　凸凹形 ：f''(x) >0 凹 反之 凸

方程的近似解

　　二分法：

 

 

　　 切線法： 

 

 

 

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

#函數的單調性和 曲線的凸凹性
if 0:
    def f1(x):
        return 2*x**3 - 9*x**2 +12*x -3

    x =np.linspace(-10,10,num= 100)
    plt.plot(x,f1(x))

    #輔助線
    plt.axvline(0,color = 'gray',linestyle='--',alpha =0.8)
    plt.axhline(0,color = 'gray',linestyle='--',alpha =0.8)



    plt.show()
    pass

#二分法求解
if 0:
    def f(x):
        return x**3 + 1.1*x**2 +0.9*x -1.4
    x = np.linspace(-10,10,num=100)
    plt.plot(x,f(x))

    plt.axvline(0,color='cyan',linestyle='--')
    plt.axhline(0,color='cyan',linestyle='--')
    #二分法

    res_ls=[0,1]
    for i in range(10):
        mid = (res_ls[0] +res_ls[1])/2
        if f(mid)*f(0) < 0:
            res_ls[1] = mid
        else:
            res_ls[0] = mid
        print("第{} 次循環，此時的區間為 {} ！".format(i+1,res_ls))
    pass

#切線法求解
if 1:
    def f(x):
        return x**3 + 1.1*x**2 +0.9*x -1.4
    #f(x)  在0 -1  單調遞增

    plt.xlim([0,1])
    plt.ylim([f(0),f(1)])

    x = np.linspace(0,1,num=100)
    plt.axvline(0,color='cyan',linestyle='--')
    plt.axhline(0,color='cyan',linestyle='--')
    plt.plot(x,f(x))


    #切線法
    res = 1
    #f(x) 的導數
    def f_1(x):
        return 3*x**2 +2.2*x +0.9
    for i in range(10):
        p_Pre = res
        res = res - f(res)/f_1(res)
        print("第{}次循環的估計值為{}".format(i+1,res))
        plt.plot([p_Pre,res],[f(p_Pre),0])
    pass

plt.show()

 

三：第三章：不定積分，定積分

不定積分：

 

不定積分的方法：

換元法

分部積分法

 

小結：

 

 

定積分：

定積分的解法：

牛頓-萊布尼茨公式：

 

 

換元法與分部積分法：

 

 

定積分的應用：

1，計算圖形的面積

 

 

2，計算體積：

 

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

#定積分的求解
if 0:
    def f(x):
        return x**2

    x = np.linspace(-1,2)
    plt.plot(x,f(x))
    plt.axhline(0,color='cyan',linestyle='--')
    plt.axvline(0,color='cyan',linestyle='--')
    plt.axvline(1,color='cyan',linestyle='--')
    #填充圖形
    x1 = np.linspace(0,1)  #要填充的x
    plt.fill_between(x1,0,f(x1),color='k',alpha =0.4) #第一個參數是 要覆蓋的區域，第二個是下限，第三個是上限

    #上面都是在畫圖，下面計算
    area =0
    for i in range(len(x1))[:-1]: #去掉最后一個
        mid_idx = (x1[i] +x1[i+1])/2
        area += (x1[i+1]-x1[i])*f(mid_idx)
    print(area)  #0.3332986255726781
    pass

#計算圖形的面積：
if 0:
    def f1_1(x):
        return (2*x)**0.5
    def f1_2(x):
        return -(2*x)**0.5

    def f2(x):
        return x-4
    x = np.linspace(0,10,num=100)
    plt.plot(x,f1_1(x),'r',
             x,f1_2(x),'g',
             x,f2(x),'b')

    plt.xlim([-2,10])
    plt.ylim([-6,6])
    #輔助線
    plt.axvline(0,color='cyan',linestyle='--')
    plt.axhline(-2,color='cyan',linestyle='--')
    plt.axhline(4,color='cyan',linestyle='--')
    #下面是計算
    y = np.linspace(-2,4,num=100)
    area = 0
    for i in range(len(y))[:-1]:
        y_midIdx = (y[i]+y[i+1])/2
        area += (y_midIdx+4 -y_midIdx**2/2)*(y[i+1] - y[i])
    print(area) #18.000918273645556
    # 真實的解 為  18
    pass

#計算圖形的面積(0-np.pi/2)
if 0:
    def f(x):
        return (x +np.sin(x)) /(1+np.cos(x))
    x = np.linspace(-0.8*np.pi,0.8*np.pi,num=100)
    plt.plot(x,f(x))

    #輔助線
    plt.axhline(0,color ='cyan',linestyle='--')
    plt.axvline(0,color ='cyan',linestyle='--')
    plt.axvline(np.pi/2,color ='cyan',linestyle='--')

    x1 = np.linspace(0,np.pi/2,num=100)
    plt.fill_between(x1,0,f(x1),color ='k',alpha=0.4)

    #計算
    area = 0
    for i in range(len(x1))[:-1]:
        mid_idx = (x1[i]+x1[i+1])/2
        area += (x1[i+1] -x1[i])*f(mid_idx)
    print(area) #1.5707693613636802

    pass


plt.show()

 

四：第四章：多元函數與重積分

多元函數：

 

偏導數：

 

全微分：

 

 

 

 

重積分：

二重積分：

 

二重積分的求解：

1，直角坐標系

 

 

2，極坐標系

 

 

 

 

 

 

三重積分及解法：

 

 

 

 

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d

#畫  z = sin(x+y)  的圖
if 1:
    fig = plt.figure()
    ax = fig.gca(projection='3d')

    x = np.linspace(-np.pi,np.pi)
    y = np.linspace(-np.pi,np.pi)
    x,y = np.meshgrid(x,y)
    z = np.sin(x+y)


    ax.view_init(elev=30)
    # cmap = 'Reds'
    # cmap = 'Greens'
    # cmap = 'Blues'
    ax.plot_surface(x,y,z,rstride=2,cstride=2,cmap='Greens', alpha=0.9)

plt.show()

 

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d

#畫  z = sin(x+y)  的圖
if 0:
    fig = plt.figure()
    ax = fig.gca(projection='3d')

    x = np.linspace(-np.pi,np.pi)
    y = np.linspace(-np.pi,np.pi)
    x,y = np.meshgrid(x,y)
    z = np.sin(x+y)


    ax.view_init(elev=30)
    # cmap = 'Reds'
    # cmap = 'Greens'
    # cmap = 'Blues'
    ax.plot_surface(x,y,z,rstride=2,cstride=2,cmap='Greens', alpha=0.9)


#畫 z = x**2 +3*x*y +y**2  區域  x【-5，5】y【-5，5】
if 1:
    fig = plt.figure()
    ax = fig.gca(projection='3d')
    # ax.view_init(elev=None,azim=None)

    x = np.linspace(-5,5)
    y = np.linspace(-5,5)
    x,y = np.meshgrid(x,y)
    z = x**2 +3*x*y +y**2
    #畫線框架圖
    ax.plot_wireframe(x,y,z,rstride=2,cstride=2,color='k',alpha=0.8,linewidth=0.5)
    
    #等高線  contour  是登高的意思 
    ax.contourf(x, y, z, zdir='z', offset=-40, cmap='Blues', alpha=0.7)
    ax.contourf(x, y, z, zdir='x', offset=-6, cmap='Blues', alpha=0.7)
    ax.contourf(x, y, z, zdir='y', offset=6, cmap='Blues', alpha=0.7)

    ax.scatter(1, 2, 11, s=20, c='k')
    # 曲面上的點(1,2,11)

    def fxz(x):
        return 2 ** x + 6


    xn1 = np.linspace(1, 2, num=20)
    yn1 = np.ones_like(xn1) * 2
    zn1 = fxz(xn1)
    ax.plot(xn1, yn1, zn1, '-r')


    # 將y看成常量，則y=2，也就是在y=2這個面上，xz組成的函數求導
    def fyz(y):
        return 2 ** y + 3


    yn2 = np.linspace(2, 3, num=20)
    xn2 = np.ones_like(xn1) * 1
    zn2 = fyz(yn2)
    ax.plot(xn2, yn2, zn2, '-b')
    # 將x看成常量，則x=1，也就是在x=1這個面上，yz組成的函數求導
    pass
plt.show()

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d

#畫  z = sin(x+y)  的圖
if 0:
    fig = plt.figure()
    ax = fig.gca(projection='3d')

    x = np.linspace(-np.pi,np.pi)
    y = np.linspace(-np.pi,np.pi)
    x,y = np.meshgrid(x,y)
    z = np.sin(x+y)


    ax.view_init(elev=30)
    # cmap = 'Reds'
    # cmap = 'Greens'
    # cmap = 'Blues'
    ax.plot_surface(x,y,z,rstride=2,cstride=2,cmap='Greens', alpha=0.9)

#畫 z = x**2 +3*x*y +y**2  區域  x【-5，5】y【-5，5】
if 0:
    fig = plt.figure()
    ax = fig.gca(projection='3d')
    # ax.view_init(elev=None,azim=None)

    x = np.linspace(-5,5)
    y = np.linspace(-5,5)
    x,y = np.meshgrid(x,y)
    z = x**2 +3*x*y +y**2
    #畫線框架圖
    ax.plot_wireframe(x,y,z,rstride=2,cstride=2,color='k',alpha=0.8,linewidth=0.5)

    #等高線  contour  是登高的意思
    ax.contourf(x, y, z, zdir='z', offset=-40, cmap='Blues', alpha=0.7)
    ax.contourf(x, y, z, zdir='x', offset=-6, cmap='Blues', alpha=0.7)
    ax.contourf(x, y, z, zdir='y', offset=6, cmap='Blues', alpha=0.7)

    ax.scatter(1, 2, 11, s=20, c='k')
    # 曲面上的點(1,2,11)

    def fxz(x):
        return 2 ** x + 6


    xn1 = np.linspace(1, 2, num=20)
    yn1 = np.ones_like(xn1) * 2
    zn1 = fxz(xn1)
    ax.plot(xn1, yn1, zn1, '-r')


    # 將y看成常量，則y=2，也就是在y=2這個面上，xz組成的函數求導
    def fyz(y):
        return 2 ** y + 3


    yn2 = np.linspace(2, 3, num=20)
    xn2 = np.ones_like(xn1) * 1
    zn2 = fyz(yn2)
    ax.plot(xn2, yn2, zn2, '-b')
    # 將x看成常量，則x=1，也就是在x=1這個面上，yz組成的函數求導
    pass
plt.show()