$$\large{第二章：函數極限}$$
1.關於函數極限的定義：\(\lim\limits_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\)當\(0<|x-x_0|<\delta\)時，恆有\(|f(x)-A|<\varepsilon\)
2.連續與間斷點的定義：
第一類間斷點：可去、跳躍
第二類間斷點：振盪、無窮
3.等式脫帽法:
例題3.1 已知極限\(\lim\limits_{x\rightarrow{0}}\frac{\tan{2x}+xf(x)}{\sin{x^3}}=0\)，則\(\lim\limits_{x\rightarrow{0}}\frac{2+f(x)}{x^2}=\)_____(張宇30講p46 例3.16)
4.極限的唯一性:
例題4.1 當\(x\to1\)時，函數\(\frac{x^2-1}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}的極限\)( )(張宇30講p42例3.2)
A.等於1 B.等於0 C.為\(\infty\) D.不存在且不為\(\infty\)
例題4.2 已知\(\lim\limits_{x\rightarrow0}[k*\arctan{\frac{1}{x}}]+\frac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}]\)存在,求極限I=__，k=____(張宇30講p42)
5.七種未定式的計算類型一: \(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty\)
例題5.1 求極限\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{x}}{x-e^{2\sqrt{x}}+1}\)的值(張宇30講P43例3.4)
例題5.2 求極限\(\lim\limits_{x\to1^-}\ln{x}\ln(1-x)=\)______(張宇30講P44例3.8)
例題5.3 求\(I=\lim\limits_{x\to0}x[\frac{10}{x}]\)的值,其中[*]為取整符號(張宇30講P44例3.10)
6.七種未定式的計算類型二: \(\infty-\infty\)
例題6.1 求極限\(\lim\limits_{x\to0}[\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}]\)的值(張宇30講p45 例3.11)
例題6.2 求極限\(\lim\limits_{x\to\infty}[x^2(e^\frac{1}{x}-1)-x]\)的值(張宇30講p45 例3.12)
例題6.3 設\(f(x)=\frac{1}{\pi{x}}+\frac{1}{\sin{\pi{x}}}-\frac{1}{\pi{(1-x)}},x\in[\frac{1}{2},1)試補充定義f(1),使得f(x)在[\frac{1}{2},1]上連續\)(復習全書p43例6)
7.七種未定式的計算類型三: \(\infty^0,0^0,1^\infty\)
例題7.1 求極限\(\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^\frac{1}{x}\).(張宇30講p45 例3.13)
例題7.2 求極限\(\lim\limits_{x\to0}(\frac{e^x+e^{2x}+e^{3x}}{3})^\frac{e}{x}\).(張宇30講p45 例3.14)
例題7.3 求極限\(\lim\limits_{x\to\infty}{(n\tan\frac{1}{n})^n}^2\)(n為正整數).(歸結原則,張宇30講p45 例3.15)
8.無窮小比階
例題8.1 設\(x\to0\)時，\(e^{\tan{x}}-e^x與x^n\)是同階無窮小，則n的值為？(張宇30講p48 例3.19)