第一章：極限
極限，簡單地來說就是無限地趨近一個值（但並不是真的等於這個值），而永遠處在接近這個值的趨勢上，永遠靠近，永不停止。
從書上的定義看，如果對任何ε>0，總存在自然數N，使得當n>N時，不等式|xn-x|<ε恆成立。 這個定義在實際中也會出題考察。
lim(x->1) x2-1/x-1 =2。 這個函數在x=1處不存在，但x->1時極限存在，並且為2。直接算當然算不了，但是可以轉化為x+1，也就是2.
判定極限存在的充要條件：左右極限各自存在且相等。 在很多時候，兩側極限的計算方法是不一樣的，因此左右相等是有意義的。
極限不存在：左右極限不存在/不相等，或者極限無窮大。
極限的一些性質：
1.唯一性。 如果一個數列的極限存在，那么它的極限值唯一，而且他的子串也都是這個極限值。
2.保號性。在這里先引入一個去心鄰域的概念：去心領域，就是去掉了中心點，但包含其左右的一個范圍。 保號性的含義，就是指自變量在趨近一個值時，肯定能找到一個去心鄰域，在這個范圍內的值同號。
這里放一個例題：f'(0)=1, lim(x->1) f'(x)/(x-1)3=2，求x=1？
解： 在這道題中， f'(x)/(x-1)3=2)>0.
所以，存在某個值ξ>0,使得 0<|x-1|<ξ，即在這個去心領域內時，f'(x)/(x-1)3也是大於0的。
當x在(1-ξ,1)時即左半鄰域時，x-1<0,分母小於0，那么分子f'(x)<0。同樣，x在右半鄰域時，f'(x)>0。因此，f(x)在x=1處取到了最小值。
保號性的更深層的理解:不管是數列極限還是函數極限。假設lim(x->x0)=A. 要注意函數和極限二者的對應關系。
1）若A>0,則存在ξ>0，使得0<|x|<ξ內，f(x)>0。 符號取反亦然。 即：極限>0可推原函數>0;
2) 若存在ξ>0，使得0<|x|<ξ內，f(x)>0或≥0，則A≥0 。符號取反亦然。 即：函數>0或者≥0，可推極限≥0。
3。收斂必有界，有界不一定收斂，比如(-1)n+1有界但不收斂。
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做極限的幾種常用方法：
1.洛必達法則，洛必達法則是一個比較特殊的用法。它用在分式中，洛必達法則的使用有幾個規則：
1）分子和分母要同趨於0或者同趨於無窮大；
2）在這一點處分子分母都要可導；
3）求導以后，極限存在，則就是答案；極限不存在，說明不能用洛必達法則；如果上下都還是不定式，那可以考慮繼續用。
注意：洛必達法則是分子分母分別求導。不是分式求導法則(u/v)'！
特別注意：洛必達法則還有一個隱藏規則：只能用在分子/分母是乘除的運算中。事實上有時候加減也能用，但是不好把握的人最好不要用。具體什么時候能用，要參考泰勒公式
2.等價無窮小的替換
無窮小的性質這里就不贅述了，記得無窮小加減/相乘/數乘也都是無窮小。 常用的等價無窮小：
x->0時，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex-1~ln(1+x) 1-cosx~1/2 x2 (1+bx)a-1~abx
如果題中有感覺可以用但是不夠，可以自己+1 -1湊形式。
重要極限：lim (1+x) 1/x =e。
注意，這些都是x趨於0時采用的，如果有需要，想辦法代換成趨於0即可。
3.泰勒展開
4.夾逼定理
5.單調有界的數列必有極限
極限題型（不定型類）的解法思路：0/0型：洛必達，泰勒展開都行
∞/∞型：利用“抓大放小”，只看x最高階
0/∞型：轉化成上面兩種就行
∞-∞型：這種情況，有分母的話就通分，沒有分母就直接有理化，變成分式。
1∞型：利用lim (1+x) 1/x=e這個重要極限。
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在這里多提一句，泰勒公式真的是一個非常神奇的公式，它的本質是用一組多項式的和，去無限趨近於一個函數的某點；在現實中有很多用法，比如計算器就采用泰勒展開來計算sinx。而洛必達法則，從某種意義上來說，其實就是把分子和分母分別泰勒展開，第一次只比首項大小，首項一樣大就去掉（再用洛必達）比第二項。。。如此往復直到算出結果。因此在有些加減的情況下也能算。
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在實際做題的時候有時候會做到一種迷糊的狀態：上面的這些用法，都是針對不定型使用的。但如果一個極限直接就能算出來，那就直接算出來就好了。比如lim(x->0) cosx，這種根本就不用這些方法，直接就能看出來是1。考試的時候也最好不要犯迷糊。