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本文介紹利用MATLAB求解 函數或 序列的 極限問題，順便介紹
limit函數的用法。內容主要包括
單變量函數的極限和
多變量函數的極限。
單變量函數的極限
極限的定義
普通極限
$$L=\lim_{x \rightarrow x_0} {f(x)}$$
左極限
$$L=\lim_{x \rightarrow x_0^-} {f(x)}$$
右極限
$$L=\lim_{x \rightarrow x_0^+} {f(x)}$$
matlab實現方法
L=limit(fun, x, x0) % //普通極限
L=limit(fun, x, x0, 'left') % //左極限
L=limit(fun, x, x0, 'right') % //右極限
應用舉例
- 求解極限：$$L=\lim_{x \rightarrow 0} {\frac{sin x}{x}}$$
syms x; f=sin(x)/x; L=limit(f, x, 0)
- 求解極限： $$L=\lim_{x \rightarrow \infty} {x(1+\frac{a}{x})^x sin \frac{b}{x}}$$
syms x a b
f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
L = limit(f, x, inf)
- 求解單邊極限：
syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
用下面的語句還可以繪制出$(-0.1,0.1)$區間的函數曲線。
x0=-0.1:0.001:0.1;
y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
函數曲線如下：
可見， 對這個例子來說， 即使不用單邊極限也能求出函數極限值是12。
L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
- 求函數 $tan t$ 在 $\pi/2$ 點處的左右極限。
syms t; f=tan(t);
L1=limit(f,t,pi/2,'left')
L2=limit(f,t,pi/2,'right')
- 求下面序列的極限
syms n positive
f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
F = limit(f,n,inf)
- 求下面序列函數的極限
syms x n
f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
F = limit(f,n,inf)
多變量函數的極限
matlab實現方法
多元函數的極限也可以同樣用MATLAB中的limit()函數直接求解。
- 假設有二元函數$f(x,y)$， 若想求出二元函數的累極限
則可以嵌套使用limit()函數。例如:
L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
如果$x_0$或$y_0$不是確定的值， 而是另一個變量的函數， 例如$x \rightarrow g(y)$， 則上述的極限求取順序不能交換。
- 假設有二元函數$f(x,y)$， 若想求出二元函數的重極限
$$L=\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0) } {f(x,y)}$$
理論上不易求解，只有沿所有方向得出相同的極限才可，不可能用累極限方法求解。
應用舉例
- 試求出二元函數極限值
syms x a; syms y positive;
f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
- 重極限的嘗試 ，求解重極限
syms x y;
f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
- 判斷重極限是否存在
證明極限不存在比求重極限容易的多，可以沿$y=kx$趨近。
syms r x y
f=x*y/(x^2+y^2);
L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)