上下极限与上下积分的奇妙联系

前两天复习部分极限的时候，突然意识到上下极限和上下积分简直有异曲同工之妙，今天有时间将它们放到一起来看一下。

序列极限

​ 实数序列\(\{a_n\}\)：

\[a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \]

称为当\(n\rightarrow \infty\) 时趋于极限\(\alpha \in \R\)，若

\[\forall\varepsilon>0\exists N\in\N\forall n\geq N(a_n\in(\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)).\tag{1.1} \]

​ 序列\(\{a_n\}\) 的上极限定义为

\[\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup a_n = \overline\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\sup_{k\geq n}a_k\right).\tag{1.2} \]

下极限同理。

​ 序列\(\{a_n\}\) 有极限的充分必要条件是，它的上极限和下极限相等。这时，我们有

\[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf a_n.\tag{1.3} \]

Riemann积分

​ 设\(f:[a,b]\rightarrow\R\) 是有界闭区间上的实值函数。闭区间\([a,b]\) 上的\(n+1\) 个点

\[\cal{C}:a = x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b \]

称为区间\([a,b]\) 的一个分划。闭区间\([a,b]\) 因此被分划成\(n\) 个小区间

\[[a,b]= \bigcup_{k=1}^n[x_{i-1},x_i], \]

其中两个不同的小区间之交或为空集，或为单点集（总之是长度为零的集合）。在每个小区间上任选一点\(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\)，并构造函数\(f\) 相对于分划\(\cal{C}\) 和选点组\(\xi = \{\xi_1,\cdots,\xi_n\}\) 的Riemann 和：

\[\cal{R}(f;\cal{C};\xi)=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)dx(x_i-x_{i-1}).\tag{2.1} \]

假若当小区间\([x_{i-1},x_i]\space(1\leq i\leq n)\) 的长度的最大者趋于零时，不论满足条件\(\xi_i \in[x_{i-1},x_i]\) 的选点组\(\xi = \{\xi_1,\cdots,\xi_n\}\) 如何选取，Riemann 和(2.1) 收敛于某个实数\(I\in \R\)，则称\(f\) 在\([a,b]\) 上Riemann 可积，\(I\) 称为\(f\) 在区间\([a,b]\) 上的Riemann 积分，记作

\[I = \int_a^bf(x)dx. \]

​ 用\(m_i\) 与\(M_i\) 分别表示函数\(f(x)\) 在第\(i\) 个部分区间\([x_i,x_{i+1}]\) 上的下确界与上确界，并作和

\[s = \sum _{i=0}^{n-1} m_i \Delta x_i,\quad S = \sum_{i=0}^{n-1} M_i\Delta x_i.\tag{2.2} \]

这些和分别叫做下积分和与上积分和，或者Darboux和。

\[I_* = \sup\{s\},\quad I^* = \inf\{S\},\tag{2.3}\\ s \leq I_* \leq I^* \leq S, \]

数\(I_*\) 与数\(I^*\) 分别叫做 Darboux下积分 与 Darboux上积分。

​ 定积分存在的充要条件是

\[\lim_{\lambda \rightarrow 0} (S-s) = 0,\\ 也即 I_* = I^*.\tag{2.4} \]

这里也提一下，以上是菲赫金哥尔茨对上下积分的定义，而陈天权对于上积分的定义是用大于被积函数\(f(x)\) 的“阶梯函数”\(g(x)\) （形似取整函数）的积分（这类函数的积分不需要如(2.1)那样严格的定义）的下确界来定义的。个人认为这样其实更清晰，同时也回避了那个说不清道不明的“分划的模”的问题。

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总的来看，二者都是用确界来代表某个集合，用类似“夹逼”的方式简化了问题。原本想直接将后者视为前者的一个应用，但由于无法构造这样的一个积分和序列（该死的\(\lambda\) ），只得作罢。问题大概在于虽然积分有极限的思想，但并没有严格的极限表述。

另外，写到最后，我突然意识到，这似乎还和上一篇《确界：最小自然数原理与Dedekind定理》联系起来了，可以算是“确界”这一性质的重要性的一个有力的例子。