連續性概率分布-正態分布

一、概率密度函數

概率密度函數用於描述連續隨機變量的概率分布，離散型分布中我們通常關注隨機變量X取特定值時的概率，在連續型分布中關注X在某數值范圍內對應概率。

連續隨機變量的概率通過概率密度函數面積表示。對於任何概率分布來說，總概率必須等於1，因此面積必須等於1。

 

二、正態分布-連續數據的“理想”模型

1. 定義

正態分布通常參數均值𝓊和方差𝜎² 進行定義。𝓊指出分布的中央位置，𝜎指出分散性。

如果一個連續隨機變量X符合均值為𝓊、標准差為𝜎的正態分布，通常寫作：

 

 

2. 性質

 

 

 

正態分布具有鍾型曲線，曲線對稱，中間部位的概率密度最大。越是偏離均值，概率密度減小，𝜎越大，正態分布曲線越扁平、越寬。

無論圖形怎樣，概率密度永遠不等於0。

 

3. 標准正態分布 Z~N(0,1)

標准正態分布是符合均值為0，標准差為1的正態分布。

當需要計算正態分布對應概率的時，計算曲線下面積太過復雜，因此需要將正態分布轉化為標准正態分布，通過概率表查找概率。

 

若X~N(𝓊，𝜎²) 

通過標准分變換

 

則 Z~N(0,1)。

通過在概率表中查找標准分可求出正態概率，概率表給出的是小於等於這個數值的概率。

 

三、正態分布應用

1. 線性變換

正態分布的線性變換跟離散變量線性變換一致。

E(aX+b) = aE(X)+b  Var(aX+b) = a²Var(X)

若X符合正態分布 X~N(𝓊，𝜎²) ,線性變換aX+b也屬於正態分布。

E(X) = 𝓊 ,E(aX+b) = a𝓊+b

Var(X) = 𝜎² ,Var(aX+b) = a²𝜎²  

所以：aX+b ~ N(a𝓊+b,a²𝜎² )

 

2. 獨立觀察值(可看作概率分布完全相同的獨立隨機變量)

在離散隨機變量中，對於獨立觀察值：

E(X1 + X2 + ... +Xn) = nE(X)   Var(X1 + X2 + ... +Xn) = nVar(X)

同樣，相同算法適用於連續隨機變量，即，如果X符合正態分布 X~N(𝓊，𝜎²)

X1 + X2 + ... +Xn ~ N(n𝓊 ,n𝜎²)。

 

3. 使用正態分布近似替代二項分布

在離散分布中，我們常用泊松分布近似替代二項分布，以簡便計算，當二項分布期望近似等於方差時，即 當q近似等於1且n很大時，np 近似等於npq，泊松分布可近似等於二項分布。

但在某些情況下，我們需要計算某個范圍內的概率，這時常用正態分布近似替代二項分布。

通常若二項分布中np和nq雙雙大於5時，二項分布與正態分布相似。

 

 

 

所以，如果X ~ B(n,p)，且np>5，nq>5，則可以使用X ~ N(np,npq)近似代替二項分布。

注意：由於二項分布是離散分布，正態分布則是連續分布，在使用正態分布代替二項分布計算概率時，需要進行連續性修正，確保得到正確的結果。

 

4. 使用正態分布近似代替泊松分布

當X ~ Po(𝜆) ,隨着𝜆變大，泊松分布越來越接近正態分布，即可使用正態分布近似代替泊松分布。

當𝜆大於15時。即若X ~ Po(𝜆)且𝜆>15，我們就能使用X ~ N(𝜆,𝜆) 近似計算 X ~ Po(𝜆)。

同樣，為保證結果准確，在正態分布中，需要進行連續性修正。

 

2020-05-06 17:36