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聯合分布（一）：什么是概率分布

本文轉載自   查看原文   2018-08-10 11:40   6123    概率分布/ 統計學

1）基礎知識預備：概率分布

　1.1）定義：

　　廣義地，它指稱隨機變量的概率性質，即一個隨機變量在概率空間的分布狀況

　　狹義地，它是指隨機變量的概率分布函數，定義如下：

　　　　　　　　　　　　　　對於任意實數a，有： FX(a) = P(X≤a) ，FX(a)即是a的概率分布函數，而 P(X≤a) 則是在隨機變量X取值≤a時的所有的概率之和，所以概率分布函數又稱為累計概率函數。

ps：個人認為叫做累計概率函數更好理解一些啊！！！更詳細的剖解請參考 https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

但是對於離散分布，再用FX(a) = P(X≤a) 這個公式表達就不准確了，因為FX(a)表示的是隨機變量X≤a的概率值之和，但是當X是離散隨機變量的話，X≤a顯然就不合理了。所以對於離散分布：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 用語言來描述的話，就是：把所有小於等於x的概率值相加，所以本質上還是概率的累積值，只不過在表達上比上式更為嚴謹。

 

　　1.2）研究的意義：

　　說完了概率分布的定義，接下來我們當然要了解這個概率分布它到底有什么用，為什么我們要去研究它？這樣以便我們能夠更好的理解它。

　　舉個例子吧：將每一天的降雨量設為X，顯然，這個X是一個隨機變量，那么你如果要研究降雨量，你是會選擇研究當X等於某一特定值得概率還是會選擇研究X落在實數域上某一區間上的概率呢？

　　顯而易見，肯定是后者啦。你看天氣預報有把每個降雨量的概率告訴你嗎（當然這個也不可能。。。），還不是告訴你明天是小雨還是中雨或者是大雨用這樣的區間的形式。而概率分布就是描述一個隨機變量在某一個區間上的概率。

　　下面是從各處引用（ctrl+c、ctrl+v）來的我們經常會聽到的一些隨機分布。因為本文的重點是為了引出聯合分布這個知識點，所以對下面的各種分布就不多說了。

　　ps：以上都是一些不成熟的個人見解，如果有誤，還煩請指出！

 

　　1.3）常見的幾種分布：

　　#二項分布：詳細請參考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E4%BD%88

　　　　二項分布是一種離散型的概率分布。故明思義，二項代表這個隨機變量只有兩種可能的結果。

　　　　  擲硬幣就是一個典型的二項分布。當我們要計算拋硬幣n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二項分布的公式：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 　　　　　　其中，p為正面朝上的概率

　　#泊松分布：

　　　　泊松分布適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數

　　　　泊松分布的概率質量函數為：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}

　　　　泊松分布的參數λ是單位時間（或單位面積）內隨機事件的平均發生率。

　　#正態分布：

　　　　又名高斯分布，是一個非常常見的連續概率分布。正態分布在統計學上十分重要，經常用在自然和社會科學來代表一個不明的隨機變量。

　　　　若隨機變量X服從一個位置參數（X的期望）為\mu 、尺度參數（X的標准差）為\sigma 的正態分布，記為：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　X \sim N(\mu,\sigma^2),

　　　　有幾種不同的方法用來說明一個隨機變量。最直觀的方法是概率密度函數，這種方法能夠表示隨機變量每個取值有多大的可能性。

　　　　累積分布函數是一種概率上更加清楚的方法，請看下邊的例子。

　　　　正態分布的概率密度函數：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　正態分布的累計概率函數（由密度函數表示的）：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　正態分布的累積分布函數能夠由一個叫做誤差函數的特殊函數表示：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　\Phi (z)={\frac 12}\left[1+\operatorname {erf}\left({\frac {z-\mu }{\sigma {\sqrt 2}}}\right)\right].

　　　　標准正態分布的累積分布函數習慣上記為\Phi ，它僅僅是指\mu=0，\sigma=1時的值，

　　　　　　　　　　　　　　　　 \Phi(x) =F(x;0,1)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) \, dt.

　　　　將一般正態分布用誤差函數表示的公式簡化，可得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \Phi(z) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right] .

　　　　關於正態分布的幾個特征：

　　　　a.密度函數關於平均值對稱

　　　　b.平均值與它的眾數（statistical mode）以及中位數（median）同一數值。

　　　　c.函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個標准差范圍內。

　　　　d.95.449974%的面積在平均數左右兩個標准差2 \sigma的范圍內。

　　　　e.99.730020%的面積在平均數左右三個標准差3 \sigma的范圍內。

　　　　f.99.993666%的面積在平均數左右四個標准差4 \sigma的范圍內。

　　　　g.函數曲線的拐點為離平均數一個標准差距離的位置。

　　　　關於正態分布的幾個性質：

  1. 如果X \sim N(\mu, \sigma^2) \,且a與b是實數，那么a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2) 
  2. 如果X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)與Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)是統計獨立的正態隨機變量，那么：
    • 它們的和也滿足正態分布U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y) 
    • 它們的差也滿足正態分布V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y).
    • U與V兩者是相互獨立的。（要求X與Y的方差相等）
  3. 如果X \sim N(0, \sigma^2_X)和Y \sim N(0, \sigma^2_Y)是獨立正態隨機變量，那么：如果X_1, \cdots, X_n為獨立標准正態隨機變量，那么X_1^2 + \cdots + X_n^2服從自由度為n的卡方分布。
    • 它們的積X Y服從概率密度函數為p的分布
      p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),其中K_0是修正貝塞爾函數（modified Bessel function）
    • 它們的比符合柯西分布，滿足X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_X/\sigma_Y).

 


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