離散分布
0-1分布(伯努利分布)
它的分布律為：
\[P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1, (0<p<1)\]
0-1分布記作：\(X \sim b(1,p)\)
期望：\(E(X)=p\)
方差:\(D(X)=p(1-p)\)
常用的場景：新生嬰兒性別的登記，招生考試的錄取，產品的是否合格，硬幣的正反面。
二項分布
二項分布為\(n\)重伯努利實驗的概率分布。
分布律為：
\[P\{X=k\}=\begin{pmatrix}
n\\
k
\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n,(0<p<1)\]
\[\sum\limits_{k=0}^{n}P\{X=k\}=\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}
n\\
k
\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1\]
二項分布記作：\( X \sim b(n,p)\)
期望：\(E(X)=np\)
方差:\(D(X)=np(1-p)\)
常用的場景：比如一個人射擊\(n\)次，其中\(k\)次命中的概率，抽查50台設備，其中10台出故障的概率等等。
從下面的圖中，我們可以看到命中次數先增加，到了3達到最大，之后又逐漸減少，一般來說，對於固定的\(n,p\)，都具有這一性質。
（1）當\(（n+1）p\)不為整數時，二項概率\(P\{X=k\}\)在\(k=[(n+1)p]\)時達到最大值；
（2）當\(（n+1）p\)為整數時，二項概率\(P\{X=k\}\)在\(k=(n+1)p,k=(n+1)p-1\)時達到最大值。
%每輪射擊10次，命中概率0.3，射擊10000輪，x中返回的是每輪中命中的次數 x=binornd(10,0.3,10000,1); %bin的數目為10 hist(x,10);
N=100; p=0.4; k=0:N; %事件發生k次的概率 pdf=binopdf(k,N,p); %事件發生不大於k次的概率 cdf=binocdf(k,N,p); plotyy(k,pdf,k,cdf); grid on;
多項分布
多項式分布是二項式分布的擴展，在多項式分布所代表的實驗中，一次實驗會有多個互斥結果，而二項式分布所代表的實驗中，一次實驗只有兩個互斥結果。
把二項擴展為多項就得到了多項分布。比如扔骰子，不同於扔硬幣，骰子有6個面對應6個不同的點數，這樣單次每個點數朝上的概率都是1/6（對應p1~p6，它們的值不一定都是1/6，只要和為1且互斥即可，比如一個形狀不規則的骰子），重復扔n次，如果問有x次都是點數6朝上的概率就是：
\[C_n^xp^x(1-p)^{n-x}\]
更一般性的問題會問：點數1~6的出現次數分別為(x1,x2,x3,x4,x5,x6)時的概率是多少？其中sum(x1~x6）= n。這就是一個多項式分布問題。這時只需用上邊公式思想累乘約減就會得到下面的概率公式
某隨機實驗如果有\(k\)個可能結局\(A_1,A_2,…,A_k\)，分別將他們的出現次數記為隨機變量\(X_1,X_2,…,X_k\)，它們的概率分布分別是\(p_1,p_2,…,p_k\)，那么在\(n\)次采樣的總結果中，\(A_1\)出現\(n_1\)次、\(A_2\)出現\(n_2\)次、…、\(A_k\)出現\(n_k\)次的這種事件的出現概率P有下面公式：
\[P(X_1=n_1,...,X_k=n_k)=\left\{\begin{matrix}\frac{n!}{n_1!...n_k!}p_1^{n_1}...p_k^{n_k}, \sum\limits_{i=1}^kn_i=n\\ 0, others\end{matrix}\right.\]
用另一種形式寫為：
\[P(X_1=n_1,...,X_k=n_k)=\left\{\begin{matrix} n!\prod\limits_{i=1}^k\frac{p_i^{n_i}}{n_i!}, \sum\limits_{i=1}^kn_i=n\\ 0, others\end{matrix}\right.\]
其中\(\sum\limits_{i=1}^{k}p_i=1\) 。
期望: 設r維隨機變量\((x_1,x_2,⋯,x_r)\)服從多項分布，則數學期望是
\[E(x_1,x_2,⋯,x_n)=(np_1,np_2,⋯,np_r)\]
方差：\(Var(x_i)=np_i(1−p_i)，i=1,2,⋯,r\)
泊松分布
概率分布為：
\[P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,...,\lambda>0\]
泊松分布記作：\(X \sim \pi(\lambda)\)
\[\sum\limits_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}e^\lambda=1,k=0,1,2,...,\lambda>0\]
期望：\(E(X)=\lambda\)
方差:\(D(X)=\lambda\)
常用場景：一天內網站的訪問量，某段時間內發生的交通事故等等。泊松分布適合於描述單位時間（或空間）內隨機事件發生的次數。
對於二項分布，如果\(np_n=\lambda\).可以用泊松分布來近似二項分布。
下面的代碼畫出泊松分布的概率密度圖和分布圖。
x=0:1:20; %lambda=5,泊松概率密度 y=poisspdf(x,5); plot(x,y); %lambda=5,泊松概率分布 y1=poisscdf(x,5); figure; plot(x,y1);
負二項分布(帕斯卡分布)
進行重復試驗時，直到某個事件出現了\(r\)次時停止試驗，此時試驗進行次數\(X\)服從負二項分布，為二項分布的變體，注意到最后一次一定是成功的，所以是\(C_{k-1}^{r-1}\)而不是\(C_k^r\)
概率分布為：
\[P\{X=k\}=C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r},k=r+1,r+2,...,n,(0<p<1)\]
負二項分布記作：\( X \sim b_0(r,p)\)
期望：\(E(X)=\frac{r}{p}\)
方差:\(D(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}\)
常用的場景： 比如抽查20台設備，如果出現3次失敗就停止抽查，全面停工。
幾何分布
負二項分布中，r=1時的特殊情況，即第1次試驗成功時，試驗進行的次數X的分布。
概率分布為：
\[P\{X=k\}=p(1-p)^k,k=0,1,...,n,(0<p<1)\]
負二項分布記作：\( X \sim b_0(r,p)\)
期望：\(E(X)=\frac{1}{p}\)
方差:\(D(X)=\frac{(1-p)}{p^2}\)
常用的場景： 比如抽查20台設備，如果設備故障，立即停工檢修。
超幾何分布
to do
單點分布(退化分布)
隨機變量取a時，概率為1。
記作： \(b_0(a,1)\)
單點分布記作：\(p(x=a)=1\)
期望：a
方差：0
連續分布
均勻分布
隨機變量的概率密度在[a,b]區間上為常數\(\frac{1}{b-a}\)，則此隨機變量服從均勻分布，意為在某個區間內各取值是等可能的，概率的大小只與長度有關。
均勻分布概率密度函數：
\[f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{b-a}, a<x<b\\
0, others
\end{matrix}\right.\]
均勻分布分布函數：
\[F(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x<a\\
\frac{x-a}{b-a}, a \leq x<b\\
1, x \geq b
\end{matrix}\right.\]
均勻分布記作: \( U(a,b)\)
期望:\(E(X)=\frac{(a+b)}{2}\)
方差：\(D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)
正態分布(高斯分布)
http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7669977.html
指數分布
為伽瑪分布的特殊形式，即當\(\alpha=1\)時的伽瑪分布。
均勻分布概率密度函數：
\[f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}, x>0\\
0, others
\end{matrix}\right.\]
均勻分布分布函數：
\[F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-x/\theta}, x>0\\
0, others
\end{matrix}\right.\]
均勻分布記作: \(\Gamma(a,b)\)
期望:\(E(X)=\theta\)
方差：\(D(X)=\theta^2\)
指數函數的一個重要特征是無記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個隨機變量呈指數分布，當\(s,t>0\)時有\(P(T>t+s|T>t)=P(T>s)\)。即，如果\(T\)是某一元件的壽命，已知元件使用了\(t\)小時，它總共使用至少\(s+t\)小時的條件概率，與從開始使用時算起它使用至少\(s\)小時的概率相等。
用下面的代碼，我們可以畫出指數分布的概率密度函數和分布函數圖：
x=0:0.1:5; plot(x,[gampdf(x,1,0.3);gampdf(x,1,1);gampdf(x,1,2)]); legend('theta=0.3','theta=1','theta=2'); grid on; figure; plot(x,[gamcdf(x,1,0.3);gamcdf(x,1,1);gamcdf(x,1,2)]); legend('theta=0.3','theta=1','theta=2'); grid on;
\(\Gamma 分布\)(伽馬分布)
http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7664944.html
\(\chi^2\)分布(卡方分布)
http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7664944.html
t分布(學生氏分布)
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非中心t分布
to do
F分布
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非中心F分布
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對數正態分布
to do
逆高斯分布
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非中心\(\chi^2\)分布
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韋布爾分布
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拉普拉斯分布
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瑞利分布
to do
帕雷托分布
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極值分布
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邏輯斯諦分布
to do
B分布(貝塔分布)
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柯西分布
to do