分布函數（英文Cumulative Distribution Function, 簡稱CDF），是概率統計中重要的函數，正是通過它，可用數學分析的方法來研究隨機變量。分布函數是隨機變量最重要的概率特征，分布函數可以完整地描述隨機變量的統計規律，並且決定隨機變量的一切其他概率特征。
從事件到函數
我們已經很清楚函數的概念，g = g(x)是一個典型的函數，輸入數據經過g(x)的處理后得到了一個新的輸出g。在概率當中，也存在類似的定義。
例如一個樣本空間有一系列隨機事件Ω = {ω1, ω1, ω1 …ωn}，那么將存在一個函數，這個函數把事件映射為一個實數：
這樣做是為了用數學去表達事件——函數最終將轉換為數，有了數，我們就能利用很多已知的工具去處理概率問題。如果Ω表示球隊的比賽事件，那么Ω = {勝，負，平}，一個典型的X轉換就是：勝→1，負→-1，平→0。二進制的0和1也能表達很多諸如開/關、升/降等事件。
分布函數
有了函數X，就可以進而將事件的概率轉換為普通的函數，於是有了分布函數的定義：
F(x)就是分布函數，它表示X ≤ x的概率。舉例來說，如果一個人的身高是1.75m，這個人的身高在全國的分布就是所有小於等於1.75m的人在全國的比例。看起來英文Cumulative Distribution Function更容易理解，F(x)就是概率的積累。
需要注意的是，此處的大X和小x都是一個具體的實數，小x的取值范圍是 -∞ ≤ x ≤ +∞，這是一個什么梗？
這要從坐標系說起了。
上圖中的曲線是f(x)，-∞ < x < +∞，對於任意的x，都有一個y能夠對應。同樣，對於概率分布函數F(x)來說，我們也希望對任意的x都能找到對應的y，也就是P(X≤x)。別忘了，我們的目的是將事件轉換為數，從而將概率轉換為函數。從概率的角度來講，-∞ < x < +∞表示了概率的全部事件。
離散型分布
離散事件
離散型事件指事件可能的取值是有限個或可列無窮個。
有限個好理解，比如骰子的結果。可列無窮個有意思了，它指值能夠例舉出來，但是永遠無法全部列舉，自然數和整數就是這樣的例子。
這里有個好玩的事，整數是無窮的，自然數也是無窮的，那么整數和自然數的數量哪個更多呢？
第一感覺是整數更多，多了一倍。但真相是，二者的數量一樣多。這就要了解數學中是怎樣定義“一樣多”的。在數學中，如果兩個集合能夠產生一一對應的關系，我們就可以說這兩個集合的數據一樣多。這個對應關系可以用一個函數表示，比如整數和自然數的對應可以是這樣：
無論哪一個整數，都能在自然數中找到唯一的對應。
整數和實數呢？實數的個數要遠遠大於整數，它們無法產生一一對應，因為每兩個實數間都有無窮多個數。這就又引出一個問題，實數的個數與[-1, 1]區間內的實數個數哪個多呢？第一感覺又是實數多，但實際上二者的個數相等。這個匪夷所思的問題可以用下圖表示，說明二者一一對應：
上圖是一個數軸，數軸上的每一個點都代表一個實數；現在把-1到1之間的線段的向上彎折，得到一個與0點相切，弧長是2的紅色圓弧。現在，把數軸上的任意點與弧連線，都可以在弧上找到唯一點：
由此可見，二者的數量相等，准確的說是“勢”相等。
分布函數
離散事件的每個取值都對應一個概率，它的分布率大概長成這個樣子：
它的分布函數：
在所有的分布函數中，x的取值范圍都是關鍵，它強調了“事件”到“函數”的轉換。
在射擊比賽中，有大、中、小三類目標供選擇，各類目標的得分和命中率如下：
其中score對應了x的取值，rate對應分布值F(x)，F(x)的分布曲線如下：
這里又一次強調了分布函數F(x)中x的取值是從-∞到+∞。當x<1時，表示沒有任何目標可供射擊，命中率是0； x ≤ 2時，命中中型和中型以下目標的概率是F(2) = P(middle) + P(small) = 1/3 + 1/2 = 5/6；x ≥ 5時，變成了必然事件，F(x) = 1。
我們看到F(x)的取值是[0, 1]，這也是概率的取值范圍；這種階梯式的函數就是離散型隨機事件的分布函數。
連續型分布
連續事件
相對於離散事件，連續事件就是隨機事件是連續型的事件。這是通俗解釋，看起來沒錯，但並不精確。
在精確定義之前先來看一個好玩的例子：一個人會在9:00~10:00到達某地，他恰巧在9:30抵達的概率是多少？
似乎很簡單，但實際上不是那么回事，問題出在時間的度量上。前面說過，0~1之間的實數有無窮多個，同樣，由於我們並沒有指定時間的最小刻度，所以9:00~10:00之間的也有無窮多個，這相當於樣本空間的事件有無窮個。如果用幾何概型思考——將概率轉換為長度的比例——我們會發現，9:30是時間軸上的一點，點的長度是0，所以P{9:30抵達} = 0。過去一直認為0概率是不肯能發生的事件，而現在看來並不是，因為確實存在9:30抵達的可能，這有點像極限問題了，極限是0，說明無限接近0，但始終不是0。
似乎出現悖論了，無數個點加在一起變成了線，點的概率又是0，那么連續事件的分布豈不是無數個0相加最終還是0？
解釋前先寫出連續事件的精確定義：對於某一X，如果存在非負可積函數f(x)，使得
則稱X是連續型隨機事件。
答案就是使用積分。使用f(t)dt就可以計算微小的面積：
關於微分和積分的相關知識可參考：《單變量微積分》中的相關章節。
現在概率終於和積分聯系在一起了，前方的視野也更加廣闊起來。
分布函數
以正態分布為例：
f(t)被稱為概率密度，或概率密度函數；F(x)表示f(t)與x軸圍成的面積：
由此可以看出，連續型隨機事件的分布函數也一定是連續的。
作者：我是8位的
