可靠性相關的 概率基本概念
F(t) - Cumulative Distribution Function (CDF) 積累失效概率函數；
R(t) - Reliability Function 可靠度函數， R(t) = 1 − F(t)；
f(t) - Probability Density Function (PDF) 失效概率密度函數，f(t) = dF (t)/dt；
λ(t)/h(t) - Failure (or hazard) rate Function 失效率函數, λ(t) = f(t)/R(t) = f(t)/(1 − F(t) )；
A1、二項分布（Binomial）
二項分布 是n個獨立的是/非試驗中成功的次數的離散概率分布，其中每次試驗的成功概率為p；
這樣的單次成功/失敗試驗又稱為伯努利試驗。二項分布也由伯努利（Bernoulli）提出。
, 
表示 
A2、泊松（Poisson）分布
泊松分布：當 n 很大，p極小時，二項分布的一種近似快速算法。
, λ = np
二項分布 到 泊松分布的推算。
A3、負指數分布
負指數分布又稱指數分布。泊松事件流的等待時間（相繼兩次出現之間的間隔）服從指數分布。
可知，指數分布對應的 h(t) 為 λ（對應泊松分布的 n*p）。常用於描述元件偶然失效期間，固定失效率 λ 下的 失效分析。
另外，常用於假定排隊系統中服務器的服務時間和Petri網中變遷的實施速率符合指數分布。
數學期望 E(X) 為 1/λ ， 方差 D(X) 為 1/ λ^2
A4、韋布爾（Weibull）分布
α＞0是比例參數（scale parameter）；β＞0是形狀參數（shape parameter），也常用 k 表示。
它的累積分布函數是擴展的指數分布，當 β=1 時，等價於指數分布( λ =1/α )； 當 β=2 時，等價於瑞利分布(Rayleigh distribution)。
威布爾分布在可靠性工程中被廣泛應用，被廣泛應用於各種壽命試驗的數據處理。
β < 1 表示故障率隨時間減小。 β = 1 表示故障率恆定。β > 1 表示故障率隨時間增加。
分別對應 失效浴盆曲線 的 早期失效期、偶然失效期、損耗失效期。
===> ln ( -ln(1-F(t)) ) = βln(t) - ln(α) = β( ln(t) - ln(T63) ).
其中：α = T63^β， T63 對應 F(t=T63) = 0.632 的時刻。
A5、伽馬（Gamma）分布
從公式來看：X∼Gamma(α,λ)，伽馬分布的概率公式如下
其中：伽馬函數為 
，該函數有 遞歸特性 
。
從意義來看：伽瑪分布解決的問題是“要等到n個隨機事件都發生，需要經歷多久時間”。
由於指數分布解決的問題是“要等到一個隨機事件發生，需要經歷多久時間”，因此，伽瑪分布可以看作是α(alpha)個指數分布的獨立隨機變量的加總，
即，α個 Exponential(λ) random variables--->Gamma(α,λ）
統計指標 為，來看： 就是α(alpha) 倍的 指數分布的數學期望 和 方差。
因此，同 指數分布 的關聯：當 α=1 時，伽馬分布 將變成了 指數分布：
另外：同 卡方分布 的關聯：當 α=n/2， λ=1/2 時，伽馬分布 將變成了 卡方分布
B1、正態分布
B2、
Distribution（卡方分布）
若n個相互獨立的隨機變量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服從標准正態分布（也稱獨立同分布於標准正態分布），則這n個服從標准正態分布的隨機變量的平方和構成一新的隨機變量，其分布規律稱為卡方分布（chi-square distribution）。
分布在數理統計中具有重要意義。
該分布是由阿貝(Abbe)於1863年首先提出的，后來由海爾墨特(Hermert)和現代統計學的奠基人之一的卡·皮爾遜(C K．Pearson)分別於1875年和1900年推導出來。
從上圖可見當自由度 n 越大，密度曲線越趨於對稱，越接近正態分布；n越小, 曲線越不對稱。
當 n = 1, 2 時曲線是單調下降趨於 0；當 n ≥ 3時曲線有單峰, 從 0 開始先單調上升, 在一定位置達到峰值, 然后單下降趨向於 0。
卡方分布密度曲線下的面積都是1。查表時為，特定自由度n下，曲線下積分面積的分數位對應的x。例如 n=1， 5%下 x=3.841。
B3、對數正態分布
B4.Student分布（S分布）
C、總結
C1、各個分布的轉換關系
【工具軟件】
1）PPM Calulator （實際分布為 Gamma分布，轉為 卡方分布 更方便查表計算）
https://www.maximintegrated.com/en/design/design-tools/calculators/general-engineering/ppm.html
http://www.ti.com/support-quality/reliability/DPPM-sample-size-calculator.html
2）Excel 類函數
CHISQ.INV(probability,deg_freedom) -- 求卡方分布左尾概率的反函數值
CHIINV(probability,degrees_freedom) -- 求卡方分布（右尾）概率的反函數值
GAMMAINV(probability,alpha,beta) -- 求伽馬分布概率的反函數值
BINOMDIST 或 BINOM.DIST(number_s,trials,probability_s,cumulative) -- 求二項式分布的概率， 常用於：OC曲線計算
注：https://www.wps.cn/learning/course/index/cg/34.html WPS中關於 統計函數使用說明（含視頻）
【參考文檔】可靠性
1) https://zhuanlan.zhihu.com/c_158803178 【入門】可靠性知道 專欄
2) https://wenku.baidu.com/view/f5333220a98271fe910ef987.html 【基礎】可靠性數學基礎
3) https://wenku.baidu.com/view/29fb0cb9a45177232e60a2a5.html 【基礎】機械產品的可靠性概率分布
【參考文檔】數學分布
1) https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82735201 【深入】三大抽樣分布：卡方分布，t分布和F分布的簡單理解
2) https://wenku.baidu.com/view/ab59abb8c77da26925c5b0a3.html 【基礎】幾種常見的分布
3) https://www.zhihu.com/question/34866983/answer/191286772 【基礎】怎么來理解伽瑪（gamma）分布？
4) https://cosx.org/2014/07/gamma-function-1/ 【基礎】神奇的伽瑪函數 (上)
5) https://www.jianshu.com/p/6ee90ba47b4a 【基礎】伽馬分布，指數分布，泊松分布的關系
6) https://blog.csdn.net/u010182633/article/details/71101847 【基礎】漫步數理統計二十四——伽瑪、卡方與貝塔分布
7) https://zhuanlan.zhihu.com/p/87849297【基礎】深度學習必懂的 13 種概率分布
【引用請聲明出處，yvivid】https://www.cnblogs.com/yvivid/p/reliability_probability.html