前言
函數的單調性是很重要的性質之一，那么我們到底需要研究什么？
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相關概念：函數在區間上增加(減少)；單調區間，單調性，增函數，減函數，單調函數；
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單調性的給出方式[其實質也是單調性的判斷方法]；
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單調性[單調區間]的判斷，難點是抽象函數與復合函數的單調性判斷；
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單調性的證明方法，只能用定義法和導數法；
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單調性的作用：求解單調區間或判斷單調性；求函數的值域或者最值；比較兩個函數值或者自變量大小；求解函數不等式；
常用給出方式
- 0、以圖像的形式給出；
如圖[圖中畫出一個增函數]，或者給出\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2，x\geqslant 0}\\{-x^2，x<0}\end{array}\right.\)，
- 1、題目中用文字語言直接給出；
如函數在區間\([a，b]\)單調遞增；
- 2、以定義式給出；
如給出函數\(f(x)\)在區間\(D\)上滿足\(\forall x_1，x_2\in D，x_1<x_2，f(x_1)<f(x_2)\)，
則意味着函數\(f(x)\)在區間\(D\)上單調遞增；
【注意】函數的單調性定義中，\(x_1，x_2\)有三個特征：①任意性；②有大小；③同屬於同一個單調區間；
- 3、以定義的等價變形形式【積式】給出；
如函數\(f(x)\)在區間\(D\)上滿足\(\forall x_1，x_2\in D，(x_1-x_2)\cdot[f(x_1)-f(x_2)]<0\)
則說明：函數\(f(x)\)在區間\(D\)上單調遞減；
你會仿照上例，刻畫單調遞增嗎？
- 4、以定義的等價變形形式【商式】給出；
如函數\(f(x)\)在區間\(D\)上滿足\(\forall x_1，x_2\in D，\cfrac{f(x_1)- f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)
則說明：函數\(f(x)\)在區間\(D\)上單調遞增；
- 5、以函數單調性的結論形式給出；
結論①：函數\(f(x)、g(x)\)是增(減)函數，則\(f(x)+g(x)\)為增(減)函數；
注意，此處不是用復合函數的“同增異減”來判斷，而是利用單調性的定義可以證明的。
結論②：已知函數\(f(x)、g(x)\)是增(減)函數，同時又已知\(f(x)>0，g(x)>0\)，則有\(f(x)\cdot g(x)\)是增（減）函數；證明[1]
已知函數\(f(x)、g(x)\)是增（減）函數，同時又已知\(f(x)<0，g(x)<0\)，則有\(f(x)\cdot g(x)\)是減（增）函數；
- 6、以導數的形式給出，
如函數在區間\([a，b]\)滿足\(f'(x)\ge0\)(只在有限個點處使得\(f'(x)=0\))
- 7、以積函數的形式給出，
如\((x-1) \cdot f'(x)>0\)，則可知\(\left\{\begin{array}{l}{x-1>0}\\{f'(x)>0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{x-1<0}\\{f'(x)<0}\end{array}\right.\)
即可知，當\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)，即函數\(f(x)\)在區間\((1，+\infty)\)上單調遞增；
當\(x<1\)時，\(f'(x)<0\)，即函數\(f(x)\)在區間\((-\infty，1)\)上單調遞減；
同理可以理解表達式\((x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0\)。
其他給出方式
- 1、以“定義的商式變形+構造函數的形式”給出；
引例，對任意兩個不相等的正數\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，
記\(a=\cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}}\)，\(b=\cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2}\)，\(c=\cfrac{f(log_25)}{log_25}\)，比較\(a、b、c\)的大小。
分析：構造函數\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，令\(0<x_1<x_2\)，則由單調性定義的等價形式可得，
\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)
由題目，對任意兩個不相等的正數\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，
則可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，即函數\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是單調遞增的，
- 2、以“單調+奇偶”的綜合形式給出；
如給出函數\(f(x)\)在區間\(D\)上滿足：\(\cfrac{f(x_1)+ f(x_2)}{x_1+x_2}>0\)，且函數\(f(x)\)為奇函數，
則可知\(-f(-x_2)=f(x_2)\)，代換得到\(\cfrac{f(x_1)- f(-x_2)}{x_1-(-x_2)}>0\)，
再令\(-x_2=x_3\)，即\(\cfrac{f(x_1)- f(x_3)}{x_1-x_3}>0\)，
即函數\(f(x)\)在區間\(D\)上單調遞增；
- 3、 以圖像的形式給出；(給出\(f(x)\)圖像或者\(f'(x)\)的圖像，要會讀斜率)
比如給出\(f(x)\)圖像，需要會解讀圖像，給出\(f'(x)\)的圖像，要會通過\(f'(x)\)的正負解讀單調性；
- 4、函數單調性的性質應用；
結論①：函數\(f(x)、g(x)\)是增(減)函數，則\(f(x)+g(x)\)為增(減)函數；
注意，此處不是用復合函數的“同增異減”來判斷，而是利用單調性的定義可以證明的。
結論②：已知函數\(f(x)、g(x)\)是增(減)函數，同時又已知\(f(x)>0，g(x)>0\)，則有\(f(x)\cdot g(x)\)是增（減）函數；
已知函數\(f(x)、g(x)\)是增（減）函數，同時又已知\(f(x)<0，g(x)<0\)，則有\(f(x)\cdot g(x)\)是減（增）函數；
結論③：\(f(x)\)與\(f(x)+c\)(\(c\)為常數)有相同的單調性；
結論④：\(k>0\)時，\(f(x)\)與\(k\cdot f(x)\)有相同的單調性；\(k<0\)時，\(f(x)\)與\(k\cdot f(x)\)有相反的單調性；
結論⑤：\(f(x)\)恆不為零，則\(f(x)\)與\(\cfrac{1}{f(x)}\)單調性相反；
結論⑥：\(f(x)\)恆為正，則\(f(x)\)與\(\sqrt{f(x)}\)具有相同的單調性；
【易錯】函數\(f(x)\)在區間\(D_1、D_2\)上單調遞增(或減)，但是在區間\(D_1\cup D_2\)上不一定單調遞增(或減)
如函數\(f(x)=\cfrac{1}{x}\)，在區間\((-\infty，0)\)上單調遞減，在區間\((0，+\infty)\)上單調遞減，
但是在區間\((-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)並不具有單調性，即在其定義域上沒有單調性。
- 5、以復合函數的形式給出單調性；
引例，(2017鳳翔中學高三理科第二次月考第9題)
若函數\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上為減函數，則實數\(a\)的取值范圍是【】
A、\([3，+\infty)\) \(\hspace{2cm}\) B、\((0，1)\) \(\hspace{2cm}\) C、\((1，3]\) \(\hspace{2cm}\) D、 \((1，3)\)
分析：令\(g(x)=6-ax\)，像這類題目既要考慮單調性，還要考慮定義域。
由題目可知必有\(a>0\)，故函數\(g(x)\)單調遞減，考慮定義域時只要最小值\(g(2)>0\)即可，
再考慮外函數必須是增函數，故\(a>1\)，
結合\(g(2)>0\)，解得\(1<a<3\)，故選D。
- 6、以分段函數的形式給出單調性
引例，(已知分段函數的單調性，求參數的取值范圍)
已知\(a>0\)，函數\(f(x)\)滿足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函數\(f(x)\)在\(R\)上單調遞增，求\(a\)的取值范圍。
- 7、以賦值法的形式給出單調性；
如定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)滿足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(x >0\)時，\(f(x)<0\)，判定函數單調性。
分析：令\(x_1> x_2\)，則\(x_1-x_2>0\)，故\(f(x_1-x_2)<0\)，
則有$ f(x_1) = f(x_1-x_2+x_2) = f(x_1-x_2)+f (x_2) < f( x_2) $，
故函數\(f(x)\)在\(R\)上單調遞減。
- 8、以導函數的整體或部分形式給出(更難些)，
比如題目給出當\(x>0\)時滿足條件\(xf'(x)-f(x)<0\)，則是告訴我們需要構造新函數，同時能知道新函數的單調性；
分析：構造\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，則當\(x>0\)時，
則\(g'(x)=\cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}<0\)，
即新函數\(g(x)\)在區間\((0，+\infty)\)上單調遞減。
典例剖析：
①\((x_2-x_1))[f(x_2)-f(x_1)]＜0\)；
②\(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2)\)；
③\(f(x_2)-f(x_1)＞x_2-x_1\)；
④\(\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}＞f(\cfrac{x_1+x_2}{2})\)；
其中正確結論的序號是【②③④】．
分析：由於函數\(f(x)=e^x-1\)在區間\([0，e]\)上單調遞增，
對於選項①而言，函數\(f(x)\)單調遞減，故①錯誤；
對於選項②變形得到，\(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2)\)；即\(\cfrac{f(x_1)}{x_1}<\cfrac{f(x_2)}{x_2}\)；
即\(\cfrac{f(x_1)-0}{x_1-0}<\cfrac{f(x_2)-0}{x_2-0}\)；借助圖像很容易說明②正確；
對於選項③而言，變形得到\(\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0\)，即函數單調遞增，故③正確；
對於選項④而言，刻畫的是函數的凹凸性，也是正確的，故正確結論的序號是【②③④】．
分析：構造\(g(x)=x\cdot f(x)\)，\(g(x)\)為奇函數，當\(x\in(-\infty，0)\)時，\(f(x)+xf'(x)<0\)成立，則\(g'(x)=f(x)+xf'(x)<0\)，故由單調和奇偶性可知\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上單調遞減。大小比較就容易了。
分析：\(f'(x)\ge 0\)在區間\([2，5]\)上恆成立，即\(3x^2-2a\ge 0\)在區間\([2，5]\)上恆成立，
分離參數得到，\(2a\leq 3x^2\)在區間\([2，5]\)上恆成立，即\(2a\leq [3x^2]_{min}=12\)，即\(a\leq 6\)。
分析：注意到\(a，b，c\)的結構，由題目猜想：要構造的函數是\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，那么是否正確，以下做以驗證。
令\(0<x_1<x_2\)，則由單調性定義的等價形式可得，
\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)
由題目，對任意兩個不相等的正數\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，
則可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，即函數\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是單調遞增的，
故題目需要我們比較\(g(3^{0.2})\)，\(g(0.3^2)\)，\(g(log_25)\)這三個的大小關系，只需要比較自變量的大小就可以了；
由於\(1=3^0<3^{0.2}<3^{0.5}=\sqrt{3}<2\)，\(0<0.3^2=0.09<1\)，\(log_25>log_24=2\)，
故\(g(0.3^2)<g(3^{0.2})<g(log_25)\)，即\(b<a<c\)。
- 在銳角\(\Delta ABC\)中，\(sinA>cosB\)，\(cosA<sinB\)。
證明：由於在銳角\(\Delta ABC\)中，故\(A+B>\cfrac{\pi}{2}\)，即\(A>\cfrac{\pi}{2}-B\)，此時\(A\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，\(\cfrac{\pi}{2}-B\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，而函數\(y=sinx\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是單調遞增的，故\(sinA>sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=cosB\)，即\(sinA>cosB\)，
同理，函數\(y=cosx\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是單調遞減的，故\(cosA<cos(\cfrac{\pi}{2}-B)=sinB\)，即\(cosA<sinB\)。
- 在銳角\(\Delta ABC\)中，\(sinA>cosB\)，\(sinB>cosC\)，\(sinC>cosA\)，則有\(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC\)，
已知函數\(f(x)=x^3-3x\)，若在\(\triangle ABC\)中，角\(C\)為鈍角，則以下大小關系正確的是【】
分析：在鈍角\(\triangle ABC\)中，\(sinA<cosB\)，又\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，在\((-1，1)\)上單調遞減，故\(f(sinA) > f(cosB)\)，故選\(A\)。
分析：由於函數\(f(x)\)定義在R上的奇函數，故\(f(0)=0\)，注意此時並不意味函數必須是在\(x=0\)的兩側連續。
要使得函數在R上單調遞減，首先必須是\(x>0\)時，\(f(x)\)單調遞減，
那么必須滿足\(f(0)\leq 0\)，這樣在\([0，+\infty)\)上單調遞減，同時必須滿足對稱軸在\(y\)軸上或者其左側，
故\(-\cfrac{a}{-2}\leq 0\)的，故由\(\begin{cases}f(0)=-1-a\leq 0\\\cfrac{a}{2}\leq 0\end{cases}\)，解得\(a\in[-1，0]\)。
補遺備忘：
- 函數的凹凸性反應了函數圖像變化的一種特點，它並不能直接反應單調性。
函數單調遞增或遞減的五種代表形式，主要依據函數的切線的變化情況來確定；