用導函數的圖像判斷原函數的單調性

本文轉載自查看原文 2017-11-24 09:12 2487

前言

本質：利用$f'(x)$的正負，判斷$f(x)$的增減；

符號法則

給定$f'(x)$的圖像，確定$f(x)$的單調性，最簡單層次

例1

用圖像確定$f'(x)$的正負，確定$f(x)$的單調性，

例2 【2017聊城模擬】已知函數$y=xf'(x)$的圖像如圖所示(其中$f'(x)$是函數$f(x)$的導函數)，則下面四個圖像中，$y=f(x)$的圖像大致是【】

分析：由圖可知，

當$x<-1$時，$y<0$，故由符號法則可知$f'(x)>0$；

當$-1<x<0$時，$y>0$，故由符號法則可知$f'(x)<0$；

當$0<x<1$時，$y<0$，故由符號法則可知$f'(x)<0$；

當$x>1$時，$y>0$，故由符號法則可知$f'(x)>0$；

從而可知當$x<-1$時，$f'(x)>0$，$f(x)\nearrow$；

當$-1<x<1$時，$f'(x)<0$，$f(x)\searrow$；

當$x>1$時，$f'(x)>0$，$f(x)\nearrow$；故選C。

例3 【2017濱州模擬】設R上的可導函數$f(x)$的導函數為$f'(x)$，且函數$y=(1-x)f'(x)$的圖像如圖所示，則下列結論一定成立的是【】

$A.$函數$f(x)$有極大值$f(2)$和極小值$f(1)$

$B.$函數$f(x)$有極大值$f(-2)$和極小值$f(1)$

$C.$函數$f(x)$有極大值$f(2)$和極小值$f(-2)$

$D.$函數$f(x)$有極大值$f(-2)$和極小值$f(2)$

分析：當$x<-2$時，則有$1-x>0$，又$y>0$，故由符號法則可知$f'(x)>0$；

當$-2<x<1$時，則有$1-x>0$，又$y<0$，故由符號法則可知$f'(x)<0$；

當$1<x<2$時，則有$1-x<0$，又$y>0$，故由符號法則可知$f'(x)<0$；

當$x>2$時，則有$1-x<0$，又$y<0$，故由符號法則可知$f'(x)>0$；

從而可知當$x<-2$時，$f'(x)>0$，$f(x)\nearrow$；

當$-2<x<2$時，$f'(x)<0$，$f(x)\searrow$；

當$x>2$時，$f'(x)>0$，$f(x)\nearrow$；故選$D$。

解不等式確定$f'(x)$的正負，確定$f(x)$的單調性，

例4 【2017•合肥模擬】定義在$R$上的可導函數$f(x)$的導函數為$f′(x)$，已知函數$y=2^{f′(x)}$的圖像如圖所示，則函數$y=f(x)$的單調遞減區間為【】

$A.(1，+\infty)$ $B.(1，2)$ $C.(-\infty，2)$ $D.(2，+\infty)$

分析：結合圖像可知，

當$x\in(-\infty，2]$時，$2^{f′(x)}≥1$，即$f′(x)≥0$；

當$x\in (2,+\infty)$時， $2^{f′(x)}<1$，即$f′(x)<0$；

故函數$y=f(x)$的遞減區間為$(2,+\infty)$。故選$D$。

例5 (用不等式確定$f'(x)$的正負，確定$f(x)$的單調性)(2017•合肥模擬)

1、給定函數$y=(x^2-3x+2)\cdot f'(x)$的圖像，先推斷$f'(x)$的正負，再確定$f(x)$的單調性；

2、已知$(x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0$，判斷$f(x)$的單調性；

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