用导函数的图像判断原函数的单调性

前言

关联知识

本质：利用\(f'(x)\)的正负，判断\(f(x)\)的增减；

• 符号法则

典例剖析

• 给定\(f'(x)\)的图像，确定\(f(x)\)的单调性，最简单层次

例1

• 用图像确定\(f'(x)\)的正负，确定\(f(x)\)的单调性，

例2 【2017聊城模拟】已知函数\(y=xf'(x)\)的图像如图所示(其中\(f'(x)\)是函数\(f(x)\)的导函数)，则下面四个图像中，\(y=f(x)\)的图像大致是【】

分析：由图可知，

当\(x<-1\)时，\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；

当\(-1<x<0\)时，\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；

当\(0<x<1\)时，\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；

当\(x>1\)时，\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；

从而可知当\(x<-1\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；

当\(-1<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\searrow\)；

当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；故选C。

例3 【2017滨州模拟】设R上的可导函数\(f(x)\)的导函数为\(f'(x)\)，且函数\(y=(1-x)f'(x)\)的图像如图所示，则下列结论一定成立的是【】

$A.$函数$f(x)$有极大值$f(2)$和极小值$f(1)$

$B.$函数$f(x)$有极大值$f(-2)$和极小值$f(1)$

$C.$函数$f(x)$有极大值$f(2)$和极小值$f(-2)$

$D.$函数$f(x)$有极大值$f(-2)$和极小值$f(2)$

分析：当\(x<-2\)时，则有\(1-x>0\)，又\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；

当\(-2<x<1\)时，则有\(1-x>0\)，又\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；

当\(1<x<2\)时，则有\(1-x<0\)，又\(y>0\)，故由符号法则可知\(f'(x)<0\)；

当\(x>2\)时，则有\(1-x<0\)，又\(y<0\)，故由符号法则可知\(f'(x)>0\)；

从而可知当\(x<-2\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；

当\(-2<x<2\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\searrow\)；

当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；故选\(D\)。

• 解不等式确定\(f'(x)\)的正负，确定\(f(x)\)的单调性，

例4 【2017•合肥模拟】定义在\(R\)上的可导函数\(f(x)\)的导函数为\(f′(x)\)，已知函数\(y=2^{f′(x)}\)的图像如图所示，则函数\(y=f(x)\)的单调递减区间为【 】

$A.(1，+\infty)$ $B.(1，2)$ $C.(-\infty，2)$ $D.(2，+\infty)$

分析：结合图像可知，

当\(x\in(-\infty，2]\)时，\(2^{f′(x)}≥1\)， 即\(f′(x)≥0\)；

当\(x\in (2,+\infty)\)时， \(2^{f′(x)}<1\)， 即\(f′(x)<0\)；

故函数\(y=f(x)\)的递减区间为\((2,+\infty)\)。故选\(D\)。

例5 (用不等式确定\(f'(x)\)的正负，确定\(f(x)\)的单调性)(2017•合肥模拟)

1、给定函数\(y=(x^2-3x+2)\cdot f'(x)\)的图像，先推断\(f'(x)\)的正负，再确定\(f(x)\)的单调性；

2、已知\((x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0\)，判断\(f(x)\)的单调性；