求函数的单调区间

前言

求函数的单调区间与确定函数的单调性的方法是一致的。

图象法

• 利用\(f(x)\)图象或做出\(f(x)\)的图象，由图直观写出单调区间．

例1 【2018天津模拟改编】已知函数\(y=f(x)(x\in R)\)的图像如图所示，则函数\(f(x)\)的单调区间为_____________。

分析：由图可知，函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，0)\)和\([\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，在区间\([0，\cfrac{1}{2}]\)上单调递增，

【点评】：①学会读图，解读图像时，是将变化趋势一致(仅仅上升或仅仅下降)的那部分图像，向\(x\)轴做射影，所得的区间即为单调区间。

②这一方法可以解决高中阶段的许多简单函数的单调性，比如基本初等函数，一次、二次函数、分段函数，抽象函数，复合函数等，

例2 【2019届高三理科函数的单调性与最值课时作业】设函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l} {1，x>0}\\{0，x=0}\\{-1，x<0}\end{array}\right.\) ，\(g(x)=x^2\cdot f(x-1)\)，则函数\(g(x)\)的单调递减区间是__________。

分析：由已知的分段函数\(f(x)\)的解析式，可得分段函数\(f(x-1)\)的解析式，

\(f(x-1)=\left\{\begin{array}{l}{1，x-1>0}\\{0，x-1=0}\\{-1，x-1<0}\end{array}\right.\)，即\(f(x-1)=\left\{\begin{array}{l}{1，x>1}\\{0，x=1}\\{-1，x<1}\end{array}\right.\)，

故函数\(g(x)=x^2\cdot f(x-1)=\left\{\begin{array}{l}{x^2，x>1}\\{0，x=1}\\{-x^2，x<1}\end{array}\right.\)

做出其函数图像，从图像可知，单调递减区间是\([0，1)\)。

注意：此题中单调递减区间不能写成\([0，1]\)。

定义法

• 定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

例3 【题目自拟，这一方法很少用】利用定义法求函数\(f(x)=x-\cfrac{1}{x}\)的单调区间。

分析：定义域为\((-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)；

任取\(x_1<x_2\in (0，+\infty)\)，

则\(f(x_1)-f(x_2)=x_1-\cfrac{1}{x_1}-(x_2-\cfrac{1}{x_2})\)

\(=(x_1-x_2)-(\cfrac{1}{x_1}-\cfrac{1}{x_2})\)

\(=(x_1-x_2)-\cfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)

\(=(x_1-x_2)+\cfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}\)

\(=(x_1-x_2)(1+\cfrac{1}{x_1x_2})<0\)

即\(f(x_1)<f(x_2)\)，

故函数\(f(x)=x-\cfrac{1}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递增；

同理可以证明函数\(f(x)=x-\cfrac{1}{x}\)在区间\((-\infty，0)\)上单调递增；

[或者利用\(f(x)\)为奇函数，可以证明在区间\((-\infty，0)\)上单调递增]

【点评】：①以上述题目为例，如果在区间\((0，+\infty)\)上\(f(x_1)-f(x_2)\)的差值不能确定一定为正或为负，

则说明需要再寻找新的分点，将上述的区间细化，比如将上述区间\((0，+\infty)\)细化为\((0，x_0)\)和\((x_0，+\infty)\)，

然后分别在区间\((0，x_0)\)和区间\((x_0，+\infty)\)上判断\(f(x_1)-f(x_2)\)的正负，从而确定单调区间。

②注意有效使用函数的奇偶性，简化证明。

例4 【定义法】【抽象函数的单调性-变形1】定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)-1\)，且\(x>0\)时，\(f(x)<1\)，判定函数单调性。

分析：令\(x_1<x_2\in R\)，则\(x_2-x_1>0\)，故\(f(x_2-x_1)<1\)；

则有\(f(x_2)-f(x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1]-f(x_1)\)

\(=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1-f(x_1)\)

\(=f(x_2-x_1)-1<0\)，

即\(f(x_2)<f(x_1)\)，

故函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递减。

注意变形：\(f(x_2)=f[(x_2-x_1)+x_1]=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1\)

例5 【定义法】【抽象函数的单调性-变形2】【2018·德州模拟】

已知定义在\((0，＋\infty)\)上的函数\(f(x)\)，满足 \(f(xy)＝f(x)＋f(y)\)，\(x＞1\) 时，\(f(x)＜0\)，判断函数$ f(x)$的单调性．

分析：令\(0<x_1<x_2\)，则\(\cfrac{x_2}{x_1}>1\)，故\(f(\cfrac{x_2}{x_1})<0\)；

则有\(f(x_2)-f(x_1)=f[(\cfrac{x_2}{x_1})\cdot x_1]-f(x_1)\)

\(=f(\cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)-f(x_1)\)

\(=f(\cfrac{x_2}{x_1})<0\)，

故函数\(f(x)\)在\((0，＋\infty)\)上单调递减。

注意变形：\(f(x_2)=f[(\cfrac{x_2}{x_1})\cdot x_1]=f(\cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)\)

例6 【定义法】【抽象函数单调性】

已知函数\(f(x)\)的定义域为\((0，＋\infty)\)，且对一切\(x＞0\)，\(y＞0\)都有\(f(\cfrac{x}{y})＝f(x)－f(y)\)，当\(x＞1\) 时，有\(f(x)＞0\)，判断\(f(x)\)的单调性。

分析：令\(0<x_1<x_2\)，则\(\cfrac{x_2}{x_1}>1\)，故\(f(\cfrac{x_2}{x_1})>0\)；

则由题目可知，\(f(x_2)-f(x_1)=f(\cfrac{x_2}{x_1})\)

由于\(x_2>x_1>0\)，则\(\cfrac{x_2}{x_1}>1\)，

故\(f(\cfrac{x_2}{x_1})>0\)；

即\(f(x_2)-f(x_1)>0\)

故函数\(f(x)\)在\((0，＋\infty)\)上单调递增。

转化法

• 利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间。

例7 求函数\(f(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}\)\((\cfrac{9}{4}\leqslant x\leqslant 6 )\)的单调区间；

分析：\(f(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=\cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+\cfrac{1}{x-2}\xrightarrow{x-2=t}t+\cfrac{1}{t}\)

那么参照函数\(g(x)=x+\cfrac{1}{x}\)的单调区间，在\((0，1]\)上单调递减，在\([1，+\infty)\)上单调递增；

将\(g(x)\)向右平移两个单位，得到\(g(x-2)\)，即\(f(x)\)的函数图像，其单调区间变为在\((2，3]\)上单调递减，在\([3，+\infty)\)上单调递增；

故限定区间\((\cfrac{9}{4}\leqslant x\leqslant 6 )\)上的单调性应该是在\([\cfrac{9}{4}，3]\)上单调递减，在区间\([3，6]\)上单调递增；

例7 【2019蚌埠模拟】已知\(a>0\)，设函数\(f(x)=\cfrac{2018^{x+1}+2016}{2018^x+1}\)\(（x\in [-a,a]）\)的最大值为\(M\)，最小值为\(N\)，那么\(M+N\)=【】

$A.2016$ $B.2018$ $C.4032$ $D.4034$

分析：\(f(x)=\cfrac{2018^{x+1}+2016}{2018^x+1}=\cfrac{2018^x\cdot 2018+2016}{2018^x+1}=\cfrac{2018(2018^x+1)-2}{2018^x+1}=2018-\cfrac{2}{2018^x+1}\)

故函数\(f(x)\)在区间\([-a,a]\)上单调递增，故\(M=f(x)_{max}=f(a)\)，\(N=f(x)_{min}=f(-a)\)，

故\(M+N=f(a)+f(-a)=2018-\cfrac{2}{2018^a+1}+2018-\cfrac{2}{2018^{-a}+1}=4036-2=4034\)，故选\(D\).

导数法

• 利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间，这是高中阶段使用的主要方法，属于通性通法。也是高中考查的重点和难点知识。

鉴于这一内容的重要性，重新开一篇博文：导数法判断函数的单调性的策略

复合函数法

• 复合函数作为一类比较特殊的函数，其单调区间的求解自然也比较特殊，故单独加以说明。

以\(y=f(g(x))\)的单调区间的求解为例，总结说明其求解步骤：

(1)确定函数的定义域．

(2)将复合函数分解成基本初等函数\(y＝f(u)\)，\(u＝g(x)\)．

(3)分别确定这两个函数的单调区间．

(4)若这两个函数同增同减，则\(y＝f(g(x))\)为增函数；若一增一减，则\(y＝f(g(x))\)为减函数，即“同增异减”。

例8 【求复合函数的单调性】已知函数\(f(x)=log_2(x^2-3x+2)\)，求其单调区间。

分析：令\(u=x^2-3x+2\)，

则原复合函数拆分为外函数\(y=f(u)=log_2u\)和内函数\(u=x^2-3x+2\)

由\(u=x^2-3x+2>0\)，解得\(x\in (-\infty，1)\cup(2，+\infty)\)，

即此复合函数的定义域为\(x\in (-\infty，1)\cup(2，+\infty)\)。

那么要研究其单调性，必须先在上述定义域范围内，定义域优先原则。

然后由\(u=x^2-3x+2=(x-\cfrac{3}{2})^2-\cfrac{1}{4}\)，

则内函数\(u(x)\)在区间\((-\infty，1)\)上单调递减，在区间\((2，+\infty)\)上单调递增，

而外函数\(y=f(u)=log_2u\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，

故复合函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，1)\)上单调递减，在区间\((2，+\infty)\)上单调递增。

例9 【求复合函数的单调区间】【2018天津模拟】已知函数\(y=f(x)(x\in R)\)的图像如图所示，则函数\(g(x)=f(log_ax)\)\((0<a<1)\)的单调递减区间为【】

$A.[0，\cfrac{1}{2}]$ $B.[\sqrt{a}，1]$ $C.(-\infty，0)\cup[\cfrac{1}{2}，+\infty)$ $D.[\sqrt{a}，\sqrt{a+1}]$

分析：由图可知，外函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，0)\)和\([\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，在区间\([0，\cfrac{1}{2}]\)上单调递增，

又\(0<a<1\)时，内函数\(y=log_ax\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，

故要使得复合函数函数\(g(x)=f(log_ax)(0<a<1)\)单调递减，

则需要\(log_ax\in [0，\cfrac{1}{2}]\)，即\(0\leq log_ax\leq \cfrac{1}{2}\)，

解得\(x\in [\sqrt{a}，1]\)，故选\(B\)。

整理好后，传递到绝对值形函数