前言
典例剖析
- 情形一：参数含在函数解析式中，给定区间不含参数；
分析：由于函数 \(y=2\sin\omega x+1(\omega>0)\) 的单调性和 函数 \(y=\sin\omega x(\omega>0)\) 的单调性是一致的，由此我们对已知的函数先做减法，去掉干扰因素[函数后边的\(+1\)，函数前边的系数变为\(1\)，注意此系数只能变为正的，不能变为负值]，故研究主干函数 \(y=\sin\omega x(\omega>0)\) 在区间\(\left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right]\)上是增函数，解析如下：
【法1】：子集法，用传统方法求得\(f(x)\)的带有参数 \(\omega\) 的单增区间，
令\(2k\pi-\cfrac{\pi}{2}\leq \omega x\leq 2k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，
解得\(\cfrac{2k\pi}{\omega}-\cfrac{\pi}{2\omega} \leq x \leq \cfrac{2k\pi}{\omega}+\cfrac{\pi}{2\omega}(k\in Z)\)
即 \(f(x)\) 的单调递增区间是\(\left[\cfrac{2k\pi}{\omega}-\cfrac{\pi}{2\omega}，\cfrac{2k\pi}{\omega}+\cfrac{\pi}{2\omega}\right](k\in Z)\)，
〔以下内容，让我们借助电脑，从形的角度体会下，单调递增区间的庐山真面目到底是什么，这些内容在解题时不出现，仅仅为拓宽思维使用；图中的绿色区间每个长度都相等，之间的间隔也相等，其长度和间隔还会随着 \(\omega\) 的取值不同而变化，它们就是单调递增区间，没有标记出来的空白区间就是单调递减区间；很显然不是所有区间都能包含给定的区间 \(\left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right]\) ，只能是区间内有正有负值的单调递增区间才有可能包含给定区间，故下述解法中我们令 \(k=0\)〕
令\(k=0\)，得到距离原点左右两侧最近的单调递增区间是 \(\left[-\cfrac{\pi}{2\omega}，\cfrac{\pi}{2\omega}\right]\)，
又由于\(f(x)\) 在区间\(\left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right]\)上单调递增，即 \(\left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right]\subseteq \left[-\cfrac{\pi}{2\omega}，\cfrac{\pi}{2\omega}\right]\)，
这样就转化为不等式组，即\(\begin{cases} -\cfrac{\pi}{2}\ge -\cfrac{\pi}{2\omega}\\ \cfrac{2\pi}{3}\leq \cfrac{\pi}{2\omega} \end{cases}\) ，
所以\(\omega\leq \cfrac{3}{4}\)，又\(\omega >0\)，故 \(\omega\in \left(0，\cfrac{3}{4}\right]\)。
- 当然，如果我们想不到图形的刻画，也可以采用下述的更一般化的求解过程：
接上，求得 \(f(x)\) 的单调递增区间是\(\left[\cfrac{2k\pi}{\omega}-\cfrac{\pi}{2\omega}，\cfrac{2k\pi}{\omega}+\cfrac{\pi}{2\omega}\right](k\in Z)\)，
由于函数 \(f(x)\) 在区间 \(\left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right]\) 上是增函数，
故 \(\left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right]\subsetneqq\) \(\left[\cfrac{2k\pi}{\omega}-\cfrac{\pi}{2\omega}，\cfrac{2k\pi}{\omega}+\cfrac{\pi}{2\omega}\right](k\in Z)\)，
则必然有 \(\cfrac{2k\pi}{\omega}-\cfrac{\pi}{2\omega}\leqslant -\cfrac{\pi}{2}\)①，且 \(\cfrac{2k\pi}{\omega}+\cfrac{\pi}{2\omega}\geqslant \cfrac{2\pi}{3}\)②
解①得，\(\omega\leqslant -4k+1\)，由于\(\omega>0\)，则\(k=0\)时，\(\omega\leqslant 1\)，则\(k=-1\)时，\(\omega\leqslant 5\)，故取\(\omega\leqslant 1\)；
解②得，\(\omega\leqslant 3k+\cfrac{3}{4}\)，由于\(\omega>0\)，则\(k=0\)时，\(\omega\leqslant \cfrac{3}{4}\)，则\(k=1\)时，\(\omega\leqslant \cfrac{15}{4}\)，故取\(\omega\leqslant \cfrac{3}{4}\)；
由①②求交集，得到 \(\omega\leqslant \cfrac{3}{4}\)， 又由于 \(\omega>0\)，
则 \(0<\omega\leqslant \cfrac{3}{4}\)， 故 \(\omega\in \left(0，\cfrac{3}{4}\right]\)。
〔解后总结〕：子集法，求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
【法2】：反子集法，\(\because \omega>0，x\in \left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right] \therefore \omega x \in \left[-\cfrac{\pi\omega}{2}，\cfrac{2\pi\omega}{3}\right]\)，
又模板函数\(y=sinx\)在原点左右的单调递增区间是\([-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]\)，将\(\omega x\)视为一个整体，
由\(f(x)\)在\(\left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right]\)上单调递增，故\(\left[-\cfrac{\pi\omega}{2}，\cfrac{2\pi\omega}{3}\right]\subseteq \left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}\right]\)
\(\therefore \begin{cases} -\cfrac{\pi\omega}{2}\ge -\cfrac{\pi}{2} \\ \cfrac{2\pi\omega}{3}\leq \cfrac{\pi}{2} \end{cases}\)，又\(\omega >0\)，故\(\omega\in \left(0，\cfrac{3}{4}\right]\)。
〔易错解法〕：\(\because \omega>0，x\in \left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right] \therefore \omega x \in \left[-\cfrac{\pi\omega}{2}，\cfrac{2\pi\omega}{3}\right]\)，
由\(f(x)\)在\(\left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right]\)上单调递增，故\(\left[-\cfrac{\pi\omega}{2}，\cfrac{2\pi\omega}{3}\right]\subseteq \left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right]\)这一步转化是错误的，由于题目仅仅说在区间 \([-\cfrac{\pi}{2}\) , \(\cfrac{2\pi}{3}]\) 上单调递增，并没有说区间 \([-\cfrac{\pi}{2}\) , \(\cfrac{2\pi}{3}]\) 是最大的单调递增区间，故这样的转化往往会多出参数的取值范围，或少了参数的取值范围；
\(\therefore \begin{cases} -\cfrac{\pi\omega}{2}\ge -\cfrac{\pi}{2}\\\cfrac{2\pi\omega}{3}\leq \cfrac{2\pi}{3} \end{cases}\)，解得\(\omega\leq 1\)，又\(\omega >0\)，故得到错误的解集为\(\omega\in \left(0，1\right]\)。
〔解后总结〕：反子集法，由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；
【法3】：周期性法，由题目可知， \(f(x)\) 在区间\(\left[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\right]\)单调递增，
[备注：由于函数\(y=2\sin\omega x+1(\omega>0)\)中的 \(+1\) 和乘以 \(2\) 倍，都是作用在 \(y\) 轴方向，而单调区间是在 \(x\) 轴方向，两个方向是互相垂直的，故互不影响，因此我们可以通过只研究函数 \(y=\sin\omega x\) 的单调性来达到目的，这样求解就简单的多了]
而函数\(y=\sin\omega x\)的距离原点最近的单调递增区间为\(\left[-\cfrac{\pi}{2\omega}，\cfrac{\pi}{2\omega}\right]\)，其内部包含的对称中心就是原点 \((0,0)\)，
因此必须满足：原点到\(-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{2\pi}{3}\) 的距离不超过 \(\cfrac{T}{4}\)，
即\(\therefore \begin{cases} 0-(-\cfrac{\pi}{2})\leq\cfrac{T}{4}\\ \cfrac{2\pi}{3}-0\leq \cfrac{T}{4}\end{cases}\)，
故\(T\geq\cfrac{8\pi}{3}\)，即\(T=\cfrac{2\pi}{\omega} \ge \cfrac{8\pi}{3}\)，又\(\omega >0\)，故\(\omega\in \left(0，\cfrac{3}{4}\right]\)。
〔解后总结〕：周期性法，由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过\(\cfrac{1}{4}\)周期，列不等式(组)求解；
〔解后反思〕：本题目的同类题目：函数\(y=2\)\(\sin\)\(\omega\)\(x\)\(+\)\(1\)(\(\omega>0\))在区间\([-\cfrac{\pi}{2}\)，\(\cfrac{2\pi}{3}]\)上是减函数，求\(\omega\)的取值范围。
等价命题1：函数\(y=2\)\(\cdot\)\(\sin\)\(\omega\)\(x\)\((\omega>0)\)在区间\([-\cfrac{\pi}{2}\)，\(\cfrac{2\pi}{3}]\)上是增函数，求\(\omega\)的取值范围。
等价命题2：函数\(y=\)\(\sin\)\(\omega\)\(x\)\((\omega>0)\)在区间\([-\cfrac{\pi}{2}\)，\(\cfrac{2\pi}{3}]\)上是增函数，求\(\omega\)的取值范围。
【法1】：子集法，用传统方法求得\(f(x)\)的带有参数 \(\omega\) 的单减区间，
令\(2k\pi+\cfrac{\pi}{2}\leq \omega x+\cfrac{\pi}{4}\leq 2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}(k\in Z)\)，
解得\(\cfrac{2k\pi}{\omega}+\cfrac{\pi}{4\omega}\leq x \leq \cfrac{2k\pi}{\omega}+\cfrac{5\pi}{4\omega}(k\in Z)\)
即\(f(x)\)的单减区间是\(\left[\cfrac{2k\pi}{\omega}+\cfrac{\pi}{4\omega}，\cfrac{2k\pi}{\omega}+\cfrac{5\pi}{4\omega}\right](k\in Z)\)，
令\(k=0\)此处为什么必须令\(k=0\)，能不能令\(k=1\)呢，回答是不能。若令\(k=1\)，仿照上述方法可以解得，\(\omega\geqslant \cfrac{9}{2}\) 且\(\omega\leqslant \cfrac{13}{4}\)，其交集为空集，说明这样的\(\omega\)不存在。若令\(k=2\)等等其他的值，也是同样的空集的结果；，得到距离原点右侧最近的单调递减区间是\(\left[\cfrac{\pi}{4\omega}，\cfrac{5\pi}{4\omega}\right]\)，
又由于\(f(x)\) 在区间\(\left[\cfrac{\pi}{2}，\pi\right]\)上单调递减，即 \(\left[\cfrac{\pi}{2}，\pi\right]\subseteq \left[\cfrac{\pi}{4\omega}，\cfrac{5\pi}{4\omega}\right]\)，
这样就转化为不等式组，即\(\begin{cases} \cfrac{\pi}{2}\geq \cfrac{\pi}{4\omega}\\ \pi\leq \cfrac{5\pi}{4\omega} \end{cases}\) ，
所以\(\cfrac{1}{2}\leq\omega\leq \cfrac{5}{4}\)，故\(\omega\in \left(\cfrac{1}{2} ，\cfrac{5}{4}\right]\)，故选 \(A\) .
【法2】：反子集法，由 \(\cfrac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \pi\)， 得 \(\cfrac{\pi}{2} \omega+\cfrac{\pi}{4} \leqslant \omega x+\cfrac{\pi}{4} \leqslant \pi \omega+\cfrac{\pi}{4}\)，
由题意 \(\left[\cfrac{\pi}{2} \omega+\cfrac{\pi}{4}, \pi \omega+\cfrac{\pi}{4}\right] \subseteq\left[2k\pi+\cfrac{\pi}{2}, 2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}\right](k \in Z)\)，
当 \(k=0\)时， 由 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{\pi}{2}\omega+\cfrac{\pi}{4} \geqslant \cfrac{\pi}{2} \\\pi\omega+\cfrac{\pi}{4} \leqslant \cfrac{3 \pi}{2},\end{array}\right.\)
解得 \(\cfrac{1}{2} \leqslant \omega \leqslant \cfrac{5}{4}\)，故选 \(A\) .
〔易错解法〕：由 \(\cfrac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \pi\)， 得 \(\cfrac{\pi}{2} \omega+\cfrac{\pi}{4} \leqslant \omega x+\cfrac{\pi}{4} \leqslant \pi \omega+\cfrac{\pi}{4}\)，
函数\(f(x)=\sin(\omega x+\cfrac{\pi}{4})\) 在区间 \(\left[\cfrac{\pi}{2}，\pi\right]\) 上单调递减区间\([\cfrac{\pi}{2}，\pi]\)不一定是函数的单调递减区间，只是单调递减区间的子集；，
当 \(k=0\)时， 由 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{\pi}{2}\omega+\cfrac{\pi}{4} \geqslant \cfrac{\pi}{2} \\\pi\omega+\cfrac{\pi}{4} \leqslant \pi,\end{array}\right.\)
解得 \(\cfrac{1}{2} \leqslant \omega \leqslant \cfrac{3}{4}\)，则错选 \(B\)，而正确答案是 \(A\) .
【法3】：周期性法，由上法得到距离原点右侧最近的单调递减区间是\(\left[\cfrac{\pi}{4\omega}，\cfrac{5\pi}{4\omega}\right]\)，
其内部包含的对称中心为\((\cfrac{3\pi}{4\omega},0)\)，因此必须满足：对称中心到\(\cfrac{\pi}{2}\)，\(\pi\) 的距离不超过 \(\cfrac{T}{4}\)，
即 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{3\pi}{4\omega}-\cfrac{\pi}{2}\leqslant \cfrac{T}{4} \\\pi-\cfrac{3\pi}{4\omega}\leqslant \cfrac{T}{4},\end{array}, \right.\) 即 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{3\pi}{4\omega}-\cfrac{\pi}{2}\leqslant \cfrac{2\pi}{4\omega} \\\pi-\cfrac{3\pi}{4\omega}\leqslant\cfrac{2\pi}{4\omega},\end{array}\right.\)
解得 \(\cfrac{1}{2} \leqslant \omega \leqslant \cfrac{5}{4}\)，故选 \(A\) .
- 情形二：解析式中不含参，参数含在给定区间内；
解析 : \(f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x+\cfrac{\pi}{3}\right)\) 的递减区间是 \(\left(\cfrac{\pi}{6}+2k\pi, \cfrac{7\pi}{6}+2k\pi\right)\)，\(k \in Z\)，
又由 \(t<3t\) 得 \(t>0\)， 由\(3t-t<\pi\)单调递减区间的宽度为 \(\pi\)，故\(3t\)\(-\)\(t\)的宽度要小于 \(\pi\)得 \(0<t<\cfrac{\pi}{2}\)，
所以 \([t, 3t]\subseteq\left[\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{7\pi}{6}\right]\), 即 \(t\geqslant\cfrac{\pi}{6}\)， \(3t\leqslant\cfrac{7\pi}{6}\)，
解得 \(\cfrac{\pi}{6} \leqslant t \leqslant \cfrac{7\pi}{18}\)， 故选 \(C\) .
对应练习
解析： \(f(x)=\sin \omega x+\sqrt{3} \cos \omega x=2 \sin \left(\omega x+\cfrac{\pi}{3}\right)\)，
由 \(2k\pi-\cfrac{\pi}{2} \leqslant \omega x+\cfrac{\pi}{3} \leqslant 2k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)， \(k \in Z\)，
得到 \(\cfrac{2k\pi-\frac{5\pi}{6}}{\omega} \leqslant x \leqslant \cfrac{2k\pi+\frac{\pi}{6}}{\omega}\)， \(k \in Z\)，
即函数的单调递增区间为 \(\left[\cfrac{2k\pi-\frac{5\pi}{6}}{\omega} , \cfrac{2k\pi+\frac{\pi}{6}}{\omega}\right]\)， \(k\in Z\)，
由于 \(f(x)\) 在区间 \(\left[\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{\pi}{4}\right]\) 上单调递增， 则\(\cfrac{2k\pi-\frac{5}{6}\pi}{\omega} \leqslant \cfrac{\pi}{6}\) 且 \(\cfrac{2k\pi+\frac{\pi}{6}}{\omega}\geqslant \cfrac{\pi}{4}\),
解得 \(\omega \geqslant 12k-5\)，且 \(\omega \leqslant 8k+\cfrac{2}{3}\)，
由于\(12k-5<8k+\cfrac{2}{3}\)，所以 \(k<\cfrac{17}{12}\)，
又由于 \(\omega>0\)，则必须 \(8k+\cfrac{2}{3}\geqslant 0\)，解得 \(k\geqslant-\cfrac{1}{12}\) ，
又由于 \(k \in Z\)， 所以 \(k=0\) 或 \(k=1\)，
当 \(k=0\) 时， \(\omega \geqslant 12k-5=-5\)，且 \(\omega \leqslant 8k+\cfrac{2}{3}=\cfrac{2}{3}\)，
当 \(k=1\) 时， \(\omega \geqslant 12k-5=7\)，且 \(\omega \leqslant 8k+\cfrac{2}{3}=\cfrac{26}{3}\)，
又由于 \(\omega>0\)， 故 \(\omega \in\left(0, \cfrac{2}{3}\right] \cup\left[7, \cfrac{26}{3}\right]\)，故选 \(B\) .
〔解后反思〕本方法是子集法，此法也能解释上述的子集法中 \(k=0\) 的原因。