前言
求函數的單調區間與確定函數的單調性的方法是一致的。
圖象法
- 利用\(f(x)\)圖象或做出\(f(x)\)的圖象，由圖直觀寫出單調區間．
分析：由圖可知，函數\(f(x)\)在區間\((-\infty，0)\)和\([\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上單調遞減，在區間\([0，\cfrac{1}{2}]\)上單調遞增，
【點評】：①學會讀圖，解讀圖像時，是將變化趨勢一致(僅僅上升或僅僅下降)的那部分圖像，向\(x\)軸做射影，所得的區間即為單調區間。
②這一方法可以解決高中階段的許多簡單函數的單調性，比如基本初等函數，一次、二次函數、分段函數，抽象函數，復合函數等，
分析：由已知的分段函數\(f(x)\)的解析式，可得分段函數\(f(x-1)\)的解析式，
\(f(x-1)=\left\{\begin{array}{l}{1，x-1>0}\\{0，x-1=0}\\{-1，x-1<0}\end{array}\right.\)，即\(f(x-1)=\left\{\begin{array}{l}{1，x>1}\\{0，x=1}\\{-1，x<1}\end{array}\right.\)，
故函數\(g(x)=x^2\cdot f(x-1)=\left\{\begin{array}{l}{x^2，x>1}\\{0，x=1}\\{-x^2，x<1}\end{array}\right.\)
做出其函數圖像，從圖像可知，單調遞減區間是\([0，1)\)。
注意：此題中單調遞減區間不能寫成\([0，1]\)。
定義法
- 定義法：先求定義域，再利用單調性定義．
分析：定義域為\((-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)；
任取\(x_1<x_2\in (0，+\infty)\)，
則\(f(x_1)-f(x_2)=x_1-\cfrac{1}{x_1}-(x_2-\cfrac{1}{x_2})\)
\(=(x_1-x_2)-(\cfrac{1}{x_1}-\cfrac{1}{x_2})\)
\(=(x_1-x_2)-\cfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)
\(=(x_1-x_2)+\cfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}\)
\(=(x_1-x_2)(1+\cfrac{1}{x_1x_2})<0\)
即\(f(x_1)<f(x_2)\)，
故函數\(f(x)=x-\cfrac{1}{x}\)在區間\((0，+\infty)\)上單調遞增；
同理可以證明函數\(f(x)=x-\cfrac{1}{x}\)在區間\((-\infty，0)\)上單調遞增；
[或者利用\(f(x)\)為奇函數，可以證明在區間\((-\infty，0)\)上單調遞增]
【點評】：①以上述題目為例，如果在區間\((0，+\infty)\)上\(f(x_1)-f(x_2)\)的差值不能確定一定為正或為負，
則說明需要再尋找新的分點，將上述的區間細化，比如將上述區間\((0，+\infty)\)細化為\((0，x_0)\)和\((x_0，+\infty)\)，
然后分別在區間\((0，x_0)\)和區間\((x_0，+\infty)\)上判斷\(f(x_1)-f(x_2)\)的正負，從而確定單調區間。
②注意有效使用函數的奇偶性，簡化證明。
分析：令\(x_1<x_2\in R\)，則\(x_2-x_1>0\)，故\(f(x_2-x_1)<1\)；
則有\(f(x_2)-f(x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1]-f(x_1)\)
\(=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1-f(x_1)\)
\(=f(x_2-x_1)-1<0\)，
即\(f(x_2)<f(x_1)\)，
故函數\(f(x)\)在\(R\)上單調遞減。
注意變形：\(f(x_2)=f[(x_2-x_1)+x_1]=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1\)
已知定義在\((0，＋\infty)\)上的函數\(f(x)\)，滿足 \(f(xy)＝f(x)＋f(y)\)，\(x＞1\) 時，\(f(x)＜0\)，判斷函數$ f(x)$的單調性．
分析：令\(0<x_1<x_2\)，則\(\cfrac{x_2}{x_1}>1\)，故\(f(\cfrac{x_2}{x_1})<0\)；
則有\(f(x_2)-f(x_1)=f[(\cfrac{x_2}{x_1})\cdot x_1]-f(x_1)\)
\(=f(\cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)-f(x_1)\)
\(=f(\cfrac{x_2}{x_1})<0\)，
故函數\(f(x)\)在\((0，＋\infty)\)上單調遞減。
注意變形：\(f(x_2)=f[(\cfrac{x_2}{x_1})\cdot x_1]=f(\cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)\)
已知函數\(f(x)\)的定義域為\((0，＋\infty)\)，且對一切\(x＞0\)，\(y＞0\)都有\(f(\cfrac{x}{y})＝f(x)－f(y)\)，當\(x＞1\) 時，有\(f(x)＞0\)，判斷\(f(x)\)的單調性。
分析：令\(0<x_1<x_2\)，則\(\cfrac{x_2}{x_1}>1\)，故\(f(\cfrac{x_2}{x_1})>0\)；
則由題目可知，\(f(x_2)-f(x_1)=f(\cfrac{x_2}{x_1})\)
由於\(x_2>x_1>0\)，則\(\cfrac{x_2}{x_1}>1\)，
故\(f(\cfrac{x_2}{x_1})>0\)；
即\(f(x_2)-f(x_1)>0\)
故函數\(f(x)\)在\((0，＋\infty)\)上單調遞增。
轉化法
- 利用已知函數的單調性，即轉化為已知函數的和、差或復合函數，求單調區間。
分析：\(f(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=\cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+\cfrac{1}{x-2}\xrightarrow{x-2=t}t+\cfrac{1}{t}\)
那么參照函數\(g(x)=x+\cfrac{1}{x}\)的單調區間，在\((0，1]\)上單調遞減，在\([1，+\infty)\)上單調遞增；
將\(g(x)\)向右平移兩個單位，得到\(g(x-2)\)，即\(f(x)\)的函數圖像，其單調區間變為在\((2，3]\)上單調遞減，在\([3，+\infty)\)上單調遞增；
故限定區間\((\cfrac{9}{4}\leqslant x\leqslant 6 )\)上的單調性應該是在\([\cfrac{9}{4}，3]\)上單調遞減，在區間\([3，6]\)上單調遞增；
分析：\(f(x)=\cfrac{2018^{x+1}+2016}{2018^x+1}=\cfrac{2018^x\cdot 2018+2016}{2018^x+1}=\cfrac{2018(2018^x+1)-2}{2018^x+1}=2018-\cfrac{2}{2018^x+1}\)
故函數\(f(x)\)在區間\([-a,a]\)上單調遞增，故\(M=f(x)_{max}=f(a)\)，\(N=f(x)_{min}=f(-a)\)，
故\(M+N=f(a)+f(-a)=2018-\cfrac{2}{2018^a+1}+2018-\cfrac{2}{2018^{-a}+1}=4036-2=4034\)，故選\(D\).
導數法
- 利用導函數取值的正負確定原函數的單調區間，這是高中階段使用的主要方法，屬於通性通法。也是高中考查的重點和難點知識。
鑒於這一內容的重要性，重新開一篇博文：導數法判斷函數的單調性的策略
復合函數法
- 復合函數作為一類比較特殊的函數，其單調區間的求解自然也比較特殊，故單獨加以說明。
以\(y=f(g(x))\)的單調區間的求解為例，總結說明其求解步驟：
(1)確定函數的定義域．
(2)將復合函數分解成基本初等函數\(y＝f(u)\)，\(u＝g(x)\)．
(3)分別確定這兩個函數的單調區間．
(4)若這兩個函數同增同減，則\(y＝f(g(x))\)為增函數；若一增一減，則\(y＝f(g(x))\)為減函數，即“同增異減”。
分析：令\(u=x^2-3x+2\)，
則原復合函數拆分為外函數\(y=f(u)=log_2u\)和內函數\(u=x^2-3x+2\)
由\(u=x^2-3x+2>0\)，解得\(x\in (-\infty，1)\cup(2，+\infty)\)，
即此復合函數的定義域為\(x\in (-\infty，1)\cup(2，+\infty)\)。
那么要研究其單調性，必須先在上述定義域范圍內，定義域優先原則。
然后由\(u=x^2-3x+2=(x-\cfrac{3}{2})^2-\cfrac{1}{4}\)，
則內函數\(u(x)\)在區間\((-\infty，1)\)上單調遞減，在區間\((2，+\infty)\)上單調遞增，
而外函數\(y=f(u)=log_2u\)在\((0，+\infty)\)上單調遞增，
故復合函數\(f(x)\)在區間\((-\infty，1)\)上單調遞減，在區間\((2，+\infty)\)上單調遞增。
分析：由圖可知，外函數\(f(x)\)在區間\((-\infty，0)\)和\([\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上單調遞減，在區間\([0，\cfrac{1}{2}]\)上單調遞增，
又\(0<a<1\)時，內函數\(y=log_ax\)在區間\((0，+\infty)\)上單調遞減，
故要使得復合函數函數\(g(x)=f(log_ax)(0<a<1)\)單調遞減，
則需要\(log_ax\in [0，\cfrac{1}{2}]\)，即\(0\leq log_ax\leq \cfrac{1}{2}\)，
解得\(x\in [\sqrt{a}，1]\)，故選\(B\)。
整理好后，傳遞到絕對值形函數