函數的單調性與導數

前言

二者關系

• 函數的單調性與其導函數的正負間的關系：

設函數\(y=f(x)\)在區間\((a, b)\)內可導，[導數\(\Rightarrow\)單調性]

若\(f'(x)>0\)，函數\(y=f(x)\)在區間\((a, b)\)上單調遞增；

若\(f'(x)<0\)，函數\(y=f(x)\)在區間\((a, b)\)上單調遞減；

設函數\(y=f(x)\)在區間\((a, b)\)內可導，[單調性\(\Rightarrow\)導數]

若函數\(y=f(x)\)在區間\((a, b)\)上單調遞增，則\(f'(x)\geqslant 0\)且在其任一子區間內恆有\(f'(x)\neq 0\)；

若函數\(y=f(x)\)在區間\((a, b)\)上單調遞減，則\(f'(x)\leqslant 0\)且在其任一子區間內恆有\(f'(x)\neq 0\)；

[思考辨析]：在區間\((a, b)\)內，\(f^{\prime}(x)>0\)，則\(f(x)\)在此區間上單調遞增，反之也成立嗎?

提示：不一定成立。比如\(y=x^{3}\)在\(R\)上為增函數，但其在\(x=0\)處的導數等於零。也就是說\(f^{\prime}(x)>0\)是\(y=f(x)\)在某個區間上遞增的充分不必要條件，\(f^{\prime}(x)\geqslant 0\)是\(y=f(x)\)在某個區間上遞增的必要不充分條件。

• 一般地，如果一個函數在某一范圍內的導數的絕對值較大，說明函數在這個范圍內變化得快，這時，函數的圖象就比較“陡峭”；反之，函數的圖象就比較“平緩”。
• 利用導數求函數單調區間的基本步驟

(1).確定函數\(f(x)\)的定義域；

(2).求導函數\(f^{\prime}(x)\)；

(3).由\(f'(x)>0\)或\(f^{\prime}(x)<0\)，解出相應的\(x\)的取值范圍。

當\(f'(x)>0\)時，\(f(x)\)在相應的區間上是增函數；此時不能用\(f'(x)\geqslant 0\)來求解，原因是\(f'(x)>0\)是\(f(x)\)單調遞增的充分不必要條件，而\(f'(x)\geqslant 0\)是\(f(x)\)單調遞增的必要不充分條件；此時我們需要尋求的是充分條件。

當 \(f'(x)<0\)時，\(f(x)\)在相應區間上是減函數。

已知函數\(f(x)=\cfrac{x-a}{2x-1}\)在區間\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上單調遞減，求參數\(a\)的取值范圍。

法1：導數法，由於函數在區間\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上單調遞減，

故\(f'(x)=\cfrac{2a-1}{(2x-1)^2}\leq 0\)在區間\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上恆成立，

即\(2a-1\leq 0\)恆成立，得到\(a\leq \cfrac{1}{2}\)，

但是當\(a=\cfrac{1}{2}\)時

代入原函數得到\(f(x)=\cfrac{1}{2}\)，為常函數，

則要舍去，故\(a<\cfrac{1}{2}\)。

法2：圖像法，將函數變形為\(f(x)=\cfrac{-a+\cfrac{1}{2}}{2x-1}+\cfrac{1}{2}\)，

即函數的對稱中心是\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{1}{2})\)，

如果要函數在區間\((\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上單調遞減，

只需要\(-a+\cfrac{1}{2}>0\)即可，故\(a<\cfrac{1}{2}\)。

(已知單調性求參數的取值范圍)已知函數\(f(x)=x^3-ax-1\)，

(1).討論函數\(f(x)\)的單調性；

分析：用導數法求解，\(f'(x)=3x^2-a\) ，作出導函數的簡圖(三種代表情形)，

當\(a\leq 0\)時，\(f'(x)\ge 0\)，故在\((-\infty，+\infty)\)上單調遞增；

當\(a>0\)時，令\(f'(x)=0\)，得到\(x=\pm \cfrac{\sqrt{3a}}{3}\)，故\(x\in (-\infty， -\cfrac{\sqrt{3a}}{3})\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；

\(x\in (-\cfrac{\sqrt{3a}}{3}，\cfrac{\sqrt{3a}}{3})\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\searrow\)；\(x\in (\cfrac{\sqrt{3a}}{3}，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\nearrow\)；

(2).若函數\(f(x)\)在\(R\)上是增函數，求\(a\)的取值范圍。

分析：由於函數\(f(x)\)在\(R\)上是增函數，即\(f'(x)\geqslant 0\)在\(R\)上恆成立，且恆滿足\(f'(x)\neq 0\)，即\(f(x)\)不為常函數；

則\(f'(x)=3x^2-a\geqslant 0\)恆成立，分離參數得到，

\(a\leqslant 3x^2\)在\(R\)上恆成立，而\((3x^2)_{min}=0\)，

則\(a\leqslant 0\)，又因為當\(a=0\)時，函數不為常函數，故參數\(a\)的取值范圍是\(a\in (-\infty,0]\)。