題目鏈接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4709
我好弱啊QAQ，網上dalao們的題解根本看不懂啊，折騰了幾個小時，有一點明白了。
首先要把朴素dp方程退出來。
①題目中說每次從序列的左右選一端取，但是如果你真的照着題目說的這樣做我也不知道會怎么樣。事實上很明顯不管怎么取，最終答案都只跟划分出的是哪幾個區間有關。所以不妨從左端開始取。
②如果取一個區間，區間第一個貝殼的大小和最后一個貝殼的大小不一樣，那么很明顯可以去掉第一個或最后一個貝殼，把他們加入另一個區間貢獻答案，而這一次選取的區間本身答案不會變。於是我們每次取一段區間都可以貪心地來取，使得第一個貝殼和最后一個貝殼大小一定相同。
有了這兩個准則方程很容易就出來了$$f[i]=max\{f[j-1]+a[i]*(s[i]-s[j]+1)^2\}$$
其中$s[i]$表示直到第$i$個數$a[i]$出現的次數。
考慮這個式子中的單調性，可以發現$s[i]$是遞增的也就是說$(s[i]-s[j]+1)^2$會增大，而且會增大地越來越快。這就說明如果之前有一個$k<j$滿足$k$更優，則$k$會永遠比$j$更優。
於是對於每一個$a[i]$可以用一個單調棧維護，當棧頂第二個元素比第一個元素更優時，彈出就行了，直到結束時，取棧頂元素作為決策。（不彈出）
但是這樣還有一個問題，可以發現，在某些情況下，可能會出現第二個元素劣於第一個元素，但是卻第三個元素優於第一個元素，怎么辦呢？
對於任意的$j1<j2<i1<i2$，想一想可以發現如果$j1$超過$i1$的時間小於$j2$超過$i1$的時間，那么$j1$超過$i2$的時間也一定比$j2$超過$i2$的時間早。對於求某一個$j$超過$k$的時間，可以用二分來求。這個時候方法就出來了，在將$i$壓入棧之前，我們先判斷第二個元素超過$i$的時間是否小於第一個元素超過$i$的時間，如果是就彈棧，直到不滿足條件，將$i$壓入棧中。
這樣做就滿足了每一個元素超過上一個元素的時間也是單調的。
1 /************************************************************** 2 Problem: 4709 3 User: C20161009 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:444 ms 7 Memory:3024 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 #include<cstdio> 11 #include<cstring> 12 #include<algorithm> 13 #include<vector> 14 using namespace std; 15 typedef long long ll; 16 int inline readint(){ 17 int Num;char ch; 18 while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');Num=ch-'0'; 19 while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') Num=Num*10+ch-'0'; 20 return Num; 21 } 22 ll f[100010]; 23 int n,a[100010]; 24 int cnt[100010],s[100010]; 25 vector <int> sta[10010]; 26 ll inline cal(int x,int y){ 27 return f[x-1]+(ll)a[x]*y*y; 28 } 29 int beyond(int x,int y){ 30 int l=1,r=n,ret=n+1; 31 while(l<=r){ 32 int mid=l+r>>1; 33 if(cal(x,mid-s[x]+1)>=cal(y,mid-s[y]+1)){ 34 ret=mid; 35 r=mid-1; 36 } 37 else l=mid+1; 38 } 39 return ret; 40 } 41 int main(){ 42 n=readint(); 43 for(int i=1;i<=n;i++){ 44 int x=readint(); 45 a[i]=x; 46 s[i]=++cnt[x]; 47 while(sta[x].size()>=2&&beyond(sta[x][sta[x].size()-2],sta[x][sta[x].size()-1])<=beyond(sta[x][sta[x].size()-1],i)) sta[x].pop_back(); 48 sta[x].push_back(i); 49 while(sta[x].size()>=2&&beyond(sta[x][sta[x].size()-2],sta[x][sta[x].size()-1])<=s[i]) sta[x].pop_back(); 50 f[i]=cal(sta[x][sta[x].size()-1],s[i]-s[sta[x][sta[x].size()-1]]+1); 51 } 52 printf("%lld\n",f[n]); 53 return 0; 54 }