洛谷P3515 [POI2011]Lightning Conductor（動態規划，決策單調性，單調隊列）

洛谷題目傳送門

瘋狂%%%幾個月前就秒了此題的Tyher巨佬

借着這題總結一下決策單調性優化DP吧。蒟蒻覺得用數形結合的思想能夠輕松地理解它。

首先，題目要我們求所有的\(p_i\)，那么把式子變一下

\[p_i\ge a_j-a_i+\sqrt{|i-j|} \]

\[p_i=\max\limits_{j=1}^n\{a_j+\sqrt{|i-j|}\}-a_i \]

絕對值看着很不爽，我們把它拆開

\[p_i=\max(\max_{j=1}^i\{a_j+\sqrt{i-j}\},\max_{j=i}^n\{a_j+\sqrt{j-i}\})-a_i \]

單獨看前一部分

\[p_i=\max_{j=1}^i\{a_j+\sqrt{i-j}\}-a_i \]

很明顯是個要用決策單調性優化的式子。把序列翻轉以后，后一部分的算法和前面是一樣的，所以只討論前一部分了。

對於每個\(j\)，把\(a_j+\sqrt{i-j}\)看成關於\(i\)的函數\(f_j\)。我們要做的就是在所有\(j\leq i\)的函數中找到最值。比如樣例：

觀察發現，真正有用的函數只有最上面那個！然而實際情況比這個稍復雜些。sqrt的增速是遞減的，因此可能存在一個\(j\)比較小的函數，在某一時刻被\(j\)比較大的函數反超。我們大概需要維護這樣的若干個函數：

我們用隊列實現決策二分棧（不懂的可以參考一下蒟蒻的blog），按\(j\)從小到大依次維護這些函數。顯然，對於其中任意兩個相鄰的函數\(f_t,f_{t+1}\)，它們都有一個臨界值\(k_{t,t+1}\)。顯然序列中的\(k_{1,2},k_{2,3}...\)也要嚴格遞增。否則，如果\(k_{t,t+1}\ge k_{t+1,t+2}\)，可以想象\(f_{t+1}\)根本沒有用。

先for一遍\(i\)，我們嘗試着把\(f_i\)加入隊列。這時候為了保證\(k\)遞增，設隊尾決策為\(t\)，我們判斷，如果\(k_{t-1,t}\ge k_{t,i}\)（此時會有\(f_t(k_{t-1,t})\le f_i(k_{t-1,t})\)），那么\(t\)沒用，出隊。

該出去的都出去后，\(i\)就可以加入隊尾了。這時候可以來求\(p_i\)了。我們檢查一下隊首決策\(h\)，如果\(t_{h,h+1}\le i\)，說明\(h\)的巔峰時刻已經過去，出隊。最后隊首就是所有函數中的最大值。

貌似並沒有用到什么三元組啊qwq

update:感謝孤獨·粲澤的指正，二分上下界確實該調調

不過還是沒有用到什么三元組啊qwq，蒟蒻之前都把臨界值\(k\)存下了，直接用就可以啦

#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
#define R RG int
#define G if(++ip==iend)fread(ip=buf,1,N,stdin)
#define calc(i,j) a[j]+sq[i-j]//計算函數值
using namespace std;
const int N=5e5+9;
char buf[N],*iend=buf+N,*ip=iend-1;
int n,a[N],q[N],k[N];
double p[N],sq[N];
inline int in(){
    G;while(*ip<'-')G;
    R x=*ip&15;G;
    while(*ip>'-'){x*=10;x+=*ip&15;G;}
    return x;
}
inline void chkmx(RG double&x,RG double y){
    if(x<y)x=y;
}
inline int bound(R x,R y){//二分臨界值k
    R l=y,r=k[x]?k[x]:n,m,ret=r+1;//控制二分上下界
    while(l<=r){
        m=(l+r)>>1;
        if(calc(m,x)<=calc(m,y))
            ret=m,r=m-1;
        else l=m+1;
    }
    return ret;
}
void work(){
    for(R h=1,t=0,i=1;i<=n;++i){
        while(h<t&&calc(k[t-1],q[t])<calc(k[t-1],i))--t;//維護k單調
        k[t]=bound(q[t],i);q[++t]=i;
        while(h<t&&k[h]<=i)++h;//將已經不優的決策出隊
        chkmx(p[i],calc(i,q[h]));//因為做兩遍所以取max
    }
}
int main(){
    n=in();
    R i,j;
    for(i=1;i<=n;++i)
        a[i]=in(),sq[i]=sqrt(i);
    work();
    for(i=1,j=n;i<j;++i,--j)//序列翻轉
        swap(a[i],a[j]),swap(p[i],p[j]);
    work();
    for(R i=n;i;--i)//翻轉過了所以要倒着輸出
        printf("%d\n",max((int)ceil(p[i])-a[i],0));
    return 0;
}